2002年国赛B题：彩票中的数学
2002年国赛B题：彩票中的数学是2002年全国大学生数学建模竞赛的B题。
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两类彩票的选号和开奖规则
本题比较当时的传统型与乐透型彩票方案，并研究奖级和奖金设置。以下均为题设规则，不是现行彩票规则说明。
传统型：10 选 6+1
开奖先在六组 0—9 号码球中各摇出一个基本号码，再从 0—4 号码球中摇出一个特别号码。投注一注时，依次选六个 0—9 的基本号码，可重复，并另选一个 0—4 的特别号码。基本号码的位置和顺序影响奖级。
若中奖号码为 abcdef+g，X 表示对应位置未命中，奖级模式如下。低等级中列出的连续匹配模式按位置区分，不是任意挑选相同数量的数字就获奖。
| 奖级 | 基本号码模式 | 特别号码条件 |
|---|---|---|
| 一 | abcdef | g |
| 二 | abcdef | 未中 g |
| 三 | abcdeX；Xbcdef | 不另要求 |
| 四 | abcdXX；XbcdeX；XXcdef | 不另要求 |
| 五 | abcXXX；XbcdXX；XXcdeX；XXXdef | 不另要求 |
| 六 | abXXXX；XbcXXX；XXcdXX；XXXdeX；XXXXef | 不另要求 |
乐透型：33 选 7 与 36 选 6+1
33 选 7：从 01—33 中逐个摇出 7 个基本号码，再从剩余 26 个号码中摇出 1 个特别号码；投注者从 33 个号码中选 7 个，不重复。
36 选 6+1：从 01—36 中逐个摇出 6 个基本号码，再从剩余 30 个号码中摇出 1 个特别号码；投注者仍从全部 36 个号码中选择 7 个，不重复。
这两种玩法不计号码次序，奖级由命中基本号码与特别号码的情况决定：
| 奖级 | 33选7 | 36选6+1 |
|---|---|---|
| 一 | 7个基本号 | 6个基本号＋特别号 |
| 二 | 6个基本号＋特别号 | 6个基本号 |
| 三 | 6个基本号 | 5个基本号＋特别号 |
| 四 | 5个基本号＋特别号 | 5个基本号 |
| 五 | 5个基本号 | 4个基本号＋特别号 |
| 六 | 4个基本号＋特别号 | 4个基本号 |
| 七 | 4个基本号 | 3个基本号＋特别号 |
奖金规则及 29 种方案
每注 2 元，总奖金一般为销售总额的 50%。同一注获得较高等级奖后，不再兼得较低等级奖。通常一、二、三等奖为高项奖，按比例分配，后续低项奖为固定金额。一等奖每注保底 60 万元，封顶 500 万元。
各高项奖的分配总额按同一规则计算。记当期销售总额为 、总奖金比例为 、低项奖总额为 、该高项奖的分配比例为 ，则该项的分配总额为 。
下表保留原题各销售方案。百分数表示分配比例，无百分号的奖金额单位为元；“—”表示该栏原表未设置数额，不能当作漏写的零。第 23 种是无特别号的例外，二、三等奖栏给出的 2000、20 为固定金额。
| 序号 | 玩法 | 一等 | 二等 | 三等 | 四等（元） | 五等（元） | 六等（元） | 七等（元） | 备注 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 6+1/10 | 50% | 20% | 30% | 50 | — | — | — | 按序 |
| 2 | 6+1/10 | 60% | 20% | 20% | 300 | 20 | 5 | — | 按序 |
| 3 | 6+1/10 | 65% | 15% | 20% | 300 | 20 | 5 | — | 按序 |
| 4 | 6+1/10 | 70% | 15% | 15% | 300 | 20 | 5 | — | 按序 |
| 5 | 7/29 | 60% | 20% | 20% | 300 | 30 | 5 | — | — |
| 6 | 6+1/29 | 60% | 25% | 15% | 200 | 20 | 5 | — | — |
| 7 | 7/30 | 65% | 15% | 20% | 500 | 50 | 15 | 5 | — |
| 8 | 7/30 | 70% | 10% | 20% | 200 | 50 | 10 | 5 | — |
| 9 | 7/30 | 75% | 10% | 15% | 200 | 30 | 10 | 5 | — |
| 10 | 7/31 | 60% | 15% | 25% | 500 | 50 | 20 | 10 | — |
| 11 | 7/31 | 75% | 10% | 15% | 320 | 30 | 5 | — | — |
| 12 | 7/32 | 65% | 15% | 20% | 500 | 50 | 10 | — | — |
| 13 | 7/32 | 70% | 10% | 20% | 500 | 50 | 10 | — | — |
| 14 | 7/32 | 75% | 10% | 15% | 500 | 50 | 10 | — | — |
| 15 | 7/33 | 70% | 10% | 20% | 600 | 60 | 6 | — | — |
| 16 | 7/33 | 75% | 10% | 15% | 500 | 50 | 10 | 5 | — |
| 17 | 7/34 | 65% | 15% | 20% | 500 | 30 | 6 | — | — |
| 18 | 7/34 | 68% | 12% | 20% | 500 | 50 | 10 | 2 | — |
| 19 | 7/35 | 70% | 15% | 15% | 300 | 50 | 5 | — | — |
| 20 | 7/35 | 70% | 10% | 20% | 500 | 100 | 30 | 5 | — |
| 21 | 7/35 | 75% | 10% | 15% | 1000 | 100 | 50 | 5 | — |
| 22 | 7/35 | 80% | 10% | 10% | 200 | 50 | 20 | 5 | — |
| 23 | 7/35 | 100% | 2000 | 20 | 4 | 2 | — | — | 无特别号 |
| 24 | 6+1/36 | 75% | 10% | 15% | 500 | 100 | 10 | 5 | — |
| 25 | 6+1/36 | 80% | 10% | 10% | 500 | 100 | 10 | — | — |
| 26 | 7/36 | 70% | 10% | 20% | 500 | 50 | 10 | 5 | — |
| 27 | 7/37 | 70% | 15% | 15% | 1500 | 100 | 50 | — | — |
| 28 | 6/40 | 82% | 10% | 8% | 200 | 10 | 1 | — | — |
| 29 | 5/60 | 60% | 20% | 20% | 300 | 30 | — | — | — |
需要完成的三项任务
- 综合分析各奖级的出现可能性、奖项和奖金的设置、对购彩者的吸引力，评价不同方案的合理性。
- 设计一个认为更好的方案，给出相应算法，并向彩票管理部门提出建议。
- 写一篇面向报纸读者的短文，供购彩者参考。
当年答卷要求
使用白色 A4 纸，第一页留空供组委会编号；论文题目、摘要放在第二页，正文从第三页开始。全文不得有能显示答题人身份的标志，原题特别提醒重视摘要。
附件与来源
AB2002.DOC。原题文件：AB2002.DOC 的 B题及表一至表三。
来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。