2020年国赛A题：炉温曲线

2020年国赛A题：炉温曲线是2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的A题。装有电子元件的电路板由传送带送入回焊炉，题目要求研究焊接区域中心的温度变化，并在工艺约束下调整炉温设置和传送速度。

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回焊炉与温度测量

回焊炉包括预热区、恒温区、回流区和冷却区，共分为11个小温区。每个小温区长30.5 cm，相邻小温区间隔5 cm；炉前区域和炉后区域各长25 cm。生产前先使炉内空气温度达到稳定状态。

各小温区可以设定温度，但炉前、炉后和相邻小温区之间的间隙不单独控温，其空气温度受相邻区域影响；小温区边界附近也会受到邻区影响。车间环境温度为25 °C。

这里的炉温曲线是焊接区域中心温度随时间的变化曲线，须与小温区设定的空气温度区分。

已有试验与可调整范围

已有试验采用传送速度70 cm/min，焊接区域厚度为0.15 mm。各温区设置如下。

小温区	1—5	6	7	8—9	10—11
设定温度（°C）	175	195	235	255	25

附件给出这一试验的测温数据。计时以电路板进入回焊炉为起点；温度传感器在焊接区域中心达到30 °C时开始记录数据，二者不是同一时刻。

生产时，各设定温度可以在上述试验值的上下10 °C范围内调整，但小温区1—5的设置须一致，小温区8—9须一致，小温区10—11保持25 °C。传送速度可以在65—100 cm/min之间调整。

工艺约束

指标	下限	上限
升温阶段温度变化率（°C/s）	0	3
降温阶段温度变化率（°C/s）	−3	0
升温过程中温度处于150—190 °C的时间（s）	60	120
温度超过217 °C的时间（s）	40	90
峰值温度（°C）	240	250

问题1：指定工况下的炉温曲线

建立焊接区域中心温度变化的数学模型。令传送速度为78 cm/min，小温区1—5、6、7、8—9的设定温度依次为173、198、230、257 °C，10—11仍为25 °C。

求这一工况下的炉温曲线；在论文中列出焊接区域中心经过小温区3、6、7的中点，以及小温区8的末端时的温度，并绘制完整曲线。将每隔0.5 s的中心温度按模板存入result.csv。

问题2：最大允许传送速度

小温区1—5、6、7、8—9的设定温度依次改为182、203、237、254 °C。在满足全部工艺约束的前提下，确定允许的最大传送速度。

问题3：控制升温段超过217 °C的面积

在达到焊接要求的同时，希望尽量减少高温对电路板和元件的影响。本问以升温曲线上首次超过217 °C到达到峰值这一段，曲线与217 °C水平线之间的面积作为目标，要求在满足工艺约束的情况下使其尽可能小。该面积只取峰值以前的指定升温部分。

给出所选炉温曲线、各小温区设定温度、传送速度，以及对应的面积。

问题4：兼顾高温段的对称性

在满足工艺约束的条件下，还希望炉温曲线超过217 °C的部分，在峰值时刻的两侧尽量对称。结合问题3的面积要求，给出相应的最优炉温曲线、小温区设定温度、传送速度和所用指标的数值。

附件与来源

下载2020年国赛官方题目与附件包，使用其中的A/目录。原题文件为A/2020A-炉温曲线.docx。

来源：全国大学生数学建模竞赛2020年赛题发布页。核对日期：2026年9月22日。