2025年美赛A题：时间的考验：楼梯的持续磨损
2025年美赛A题：时间的考验：楼梯的持续磨损是 2025 年美国大学生数学建模竞赛 MCM A 题。英文题名为 Testing Time: The Constant Wear On Stairs。题目请参赛者帮助考古学家判断：一组已经磨损的楼梯，能够透露多少关于过去人群活动、建造年代和修缮历史的信息。
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从磨损的台阶看过去的活动
即使是耐磨的石材，长期受到踩踏后也会改变形状。古老寺庙或教堂的台阶，可能出现中间比两侧凹陷、原来平整的踏面变弯等现象。磨损位置和程度都值得研究，而不仅是楼梯整体看起来有多旧。
把磨损直接对应到某一年份并不简单。一个地点可能先有人类活动，后来才出现建筑；建筑可能历时多年修建，期间又经历修复和扩建。同一建筑内的不同楼梯，也不一定建于同一时期，历史记录未必能把它们逐一对应起来。
本题研究的材料不限于石头，也可以是木材等。考古学家可能已有大致建造年代，但不能假定这个估计精确无误。除了年代，他们还希望知道楼梯怎样被使用：是否有人同时上楼和下楼，是否主要朝一个方向行进，以及相似的磨损究竟来自短时间的大量通行，还是很长时间里少量但持续的通行。
可以获取哪些信息，测量有什么限制
题目允许假设考古学家能够进入目标建筑，并取得模型认为重要的现场测量。参赛者必须明确提出需要测量什么，同时满足三个条件：
- 非破坏性：测量过程不能损伤或破坏被研究的楼梯及其材料。
- 相对低成本：方案应符合题目要求的有限投入条件。
- 少人、少工具即可完成：一个小规模团队使用数量有限的工具，应能够实施这些测量。
题面没有指定必须使用某一种仪器，也没有统一给定一处遗址、台阶尺寸、磨损深度或材料参数。所需数据及测量方法是报告需要交代的部分，不能把自行设定的数值当作题目已经提供的观测。
第一部分：仅凭磨损形态要作出的基本判断
建立能够由一组楼梯的磨损情况作出基本预测的模型，回答以下三个问题。
使用有多频繁
根据特定楼梯的磨损分布，判断它过去被使用的频繁程度。题目希望由留下的痕迹获得关于通行活动的信息，而不只是描述踏面存在凹陷。
是否偏向某个通行方向
考察上行和下行是否具有明显差别，人们是否更偏向沿某个方向使用楼梯。背景还提出了同时存在上下行与某一时段主要单向通行的区别。
同时通行的人数或队列形态是什么
判断人们是否常常并排通行，还是主要排成单列。例如，两人并肩上楼与一个接一个地行进，是题面要求区分的不同使用方式。这一问题针对同一时刻的通行形态，与长期累计经过多少人并不相同。
第二部分：结合既有考古信息还能判断什么
这一部分增加了前提：已有楼梯年代的估计、楼梯使用方式的信息，以及建筑内日常生活规律的大致估计。在这些资料基础上，说明模型能为以下五个问题提供什么判断，以及判断的可靠程度。
- 磨损与已有信息是否相容。把观察到的磨损与现有年代、用途及活动资料联系起来，判断这些资料能否共同解释现状。
- 楼梯有多老，估计可信到什么程度。给出能够支持的年代判断，并讨论估计的可靠性，而非仅输出一个没有说明的年份。
- 是否发生过修复或改建。判断哪些维修、翻新或结构变化可能在楼梯上留下了可以辨认的信息。
- 材料来源能否辨认。对石材，考察磨损是否符合考古学家怀疑的原始采石场材料；对木材，考察磨损是否符合所假定树木的树龄和种类。题目问的是能否提供这种判断，未预先保证可以唯一确定来源。
- 典型一天的使用人数及长期使用节奏能否区分。分析关于日常人数可以得出什么信息，并进一步讨论能否区分短时期内人群集中使用与较长时期内少数人持续使用。
后五项并不是说题目已经给定了确切年代、确定的修缮记录或完整客流数据，而是要求在已有估计和背景信息的条件下，讨论磨损证据还能支持哪些结论。
报告与提交要求
提交 PDF 的计入篇幅部分不得超过 25 页，包括一页摘要表、目录、完整研究报告和参考文献表。正文应清楚交代模型需要的测量及其可实施条件，并覆盖基本判断和结合考古资料后的问题。图、表、计算及其他补充材料也计入 25 页。
题目不规定最低页数，允许部分完成的研究。生成式 AI 不是必需工具；如有使用，应遵守 COMAP 政策，把 AI 使用报告附在 PDF 末尾，该报告不计入页数上限。
原题另附当年的在线提交说明，列明需要队伍控制编号、指导教师 ID 和所选题号。这是 2025 年原题中的提交信息。
原题与附件
- 官方英文题目 PDF（2 页）。
- COMAP 2025 年赛题发布页。
官方发布页没有为 A 题列出独立数据附件。原题中的磨损楼梯照片用于说明背景，不是一套附带标定尺寸的测量数据。