2026年国赛A题：药材的烘干问题

2026年国赛A题：药材的烘干问题是2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的A题。题目研究圆柱形中药材在热风烘干时，内部温度、干基含水率及尺寸随时间的变化，要求分别计算预热阶段、完整干燥过程以及考虑收缩后的干燥时间。

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背景与研究对象

热风干燥通过调节烘房的温度和湿度去除药材中的水分，过程包括预热平衡和恒温干燥两个阶段。工艺设置会影响耗时、能耗和成品品质，题目要求建立数学模型描述这一过程。

给定药材近似为圆柱体，长度为25 cm，初始半径为2 cm。开始烘干时，药材温度为28 °C，水分浓度为2.55 kg/kg。题目把水分浓度称为干基含水率，记为 $C$ ；烘房环境的温度与水分浓度随时间的变化由附件1提供。

题面按“到药材中心的距离”列出内部各位置的结果。问题1至问题3的展示位置为0、0.5、1、1.5、2 cm；问题4考虑药材收缩，最外侧位置改为相应时刻的药材表面。

所有数值结果均须保留四位小数。论文中的时间有的使用秒、有的使用小时；结果工作簿中的时间列统一使用秒。

问题1：预热平衡阶段

使用上述初始尺寸、初始状态和附件1中的烘房环境数据，建立预热平衡阶段药材内部温度与水分浓度的变化模型。该问给定的材料和表面交换参数如下。

参数	数值	单位
密度	820	kg/m³
比热容	2600	J/(kg·K)
热传导系数	0.36	W/(m·K)
对流换热系数	25	W/(m²·K)
对流传质系数	$8 \times 1 0^{- 7}$	m/s

水分浓度扩散系数由下式给定：

$D = 7 \times 1 0^{- 9} \exp (- \frac{0.89}{C}) .$

其中 $D$ 的单位为m²/s， $C$ 的单位为kg/kg。

该问有两种精度的结果输出要求：

论文展示：分别制作温度表和水分浓度表，对应原题表1、表2。时间行为100、300、600、900、1200、1500、1800 s，距离列为0、0.5、1、1.5、2 cm。
完整结果：在1800 s内按每1 s、每0.1 cm的间隔给出结果，填入附件3中的result1.xlsx。

温度结果以°C表示，水分浓度以kg/kg表示。工作簿的“温度”和“水分浓度”两个工作表分别保存这两类结果；A列是时间（s），第1行是到中心的距离（cm）。

问题2：包含两个阶段的烘干过程

题目说明，烘干通常持续2—3天，预热平衡和恒温干燥阶段的参数并不相同。本问要求建立能够描述整个过程的温度、水分浓度模型，并统一采用以下经验公式：

$ρ = 650 + 128 C,$

$c_{p} = 1450 + 2736 \frac{C}{C + 1},$

$k = 0.21 + 0.38 \frac{C}{C + 1},$

$D = 2.4 \times 1 0^{- 3} \exp (- \frac{0.45}{C}) \exp (- \frac{3850}{T}) .$

公式中各量的单位为：

符号	含义	单位
$ρ$	密度	kg/m³
$c_{p}$	比热容	J/(kg·K)
$k$	热传导系数	W/(m·K)
$D$	水分浓度扩散系数	m²/s
$C$	药材水分浓度	kg/kg
$T$	药材温度	K

经验公式中的 $T$ 使用开尔文（K），论文和结果表中的温度使用摄氏度（°C）。

论文中须分别给出温度和水分浓度两张表，对应原题表3、表4：时间行为0.5、1.0、1.5、2.0、2.5、3.0 h，距离列仍为0、0.5、1、1.5、2 cm。另须将时间间隔1 s、距离间隔0.1 cm的完整结果填入result2.xlsx；其中两张工作表的名称、A列及第1行的含义与问题1相同。

问题3：达到规定含水率需要多久

本问使用问题2中的经验公式。烘干结束的要求是：药材各处的水分浓度均低于0.15 kg/kg。须确定满足这一要求所需的烘干时间，以小时为单位报告。

论文中按原题表5展示水分浓度：

项目	要求
时间行，单位h	6、12、18、……，并列出烘干结束时间
距离列，单位cm	0、0.5、1、1.5、2
表内数据	相应时间、位置的水分浓度，单位kg/kg

完整的内部水分浓度结果按每60 s、每0.1 cm的间隔保存到result3.xlsx。A列为时间（s），第1行为到中心的距离（cm）。

问题4：考虑尺寸收缩

药材在失水时会发生尺寸变化。附件2给出了烘干过程中不同时刻的药材半径：时间单位为s，半径单位为cm。本问须根据这些数据重新确定烘干时长，采用下列经验公式：

$ρ = 760 + 90 C,$

$c_{p} = 1850 + 2150 \frac{C}{C + 1},$

$k = 0.12 + 0.20 \frac{C}{C + 1},$

$D = 4.2 \times 1 0^{- 4} \exp (- \frac{0.30}{C}) \exp (- \frac{3850}{T}) .$

各符号的含义和单位与问题2相同，其中 $T$ 仍为K。

论文中的水分浓度表对应原题表6。时间从6、12、18 h等每隔6 h列出，并包含烘干结束时间；距离从中心0 cm起按0.5 cm间隔列出，最外一列为药材表面。由于本问半径随时间变化，原题该表的距离栏写为“0、0.5、……、药材表面”，不再固定以2 cm为末列。

另将药材内部水分浓度按时间间隔60 s、距离间隔0.1 cm保存至result4.xlsx。A列仍为时间（s），第1行为到中心的距离（cm）。

数据与结果文件的作用

附件1是烘干初期烘房环境的时间序列，给出时间（s）、温度（°C）和水分浓度（kg/kg）。附件2是药材半径随时间的记录，供问题4使用。附件3提供四问各自的结果模板：问题1和问题2均输出温度、水分浓度，问题3和问题4输出水分浓度。

上述论文展示表与工作簿的完整结果用途不同：展示表采用题目指定的少量时间、位置，工作簿保留更密的时间和空间间隔。题目还要求参赛者先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”。

附件下载与来源

下载2026年国赛官方赛题包。本题位于包内A题/目录；题面为A题/A题.pdf，数据和结果模板位于该目录的附件/中。

来源：全国大学生数学建模竞赛组委会《2026年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：A题药材的烘干问题》，PDF共4页；官方年度发布页。本页整理核对日期为2026年9月22日。