P值

p 值是在原假设 $H_{0}$ 给定的模型下，检验统计量达到观察结果或按备择方向更极端的概率。它要连同检验方向和统计模型一起说明；孤立的一个小数没有完整含义。

十次投掷的精确计算

假设一枚硬币每次独立抛掷， $H_{0}$ 为正面概率 $p = 1 / 2$ ，备择 $H_{1} : p > 1 / 2$ 。十次中看到八次正面，令 $X$ 为正面次数。因为备择指向较多正面，观察值8及更极端的结果是8、9、10次： $p 值 = P_{H_{0}} (X \geq 8) = \frac{(\binom{10}{8}) + (\binom{10}{9}) + (\binom{10}{10})}{2^{10}} = \frac{56}{1024} \approx 0.0547.$ 若预设显著性水平为0.05，这次样本没有越过拒绝门槛；这不是说硬币必然公平。若事先选的是双侧备择 $p \neq 1 / 2$ ，还要计入同样极端的反方向结果，此例对称检验的 p 值约为0.1094。

公平硬币投十次时正面次数的二项分布柱形图，八九十次正面的三个右尾柱高亮 — 右侧高亮的三根柱子合在一起，才是本例单侧检验的 p 值。

概率的条件不能倒过来

$P (至少八次正面 ∣ H_{0})$ 是在公平假设成立时观察到这类数据的概率；它不是 $P (H_{0} ∣ 数据)$ ，也不是“结果由随机性造成的概率”。若希望得到后者一类的后验概率，必须指定先验并使用贝叶斯定理，那是另一个统计问题。

小 p 值说明数据与已指定的原假设模型不相容的程度较强，不能单独说明效应有多大。样本量很大时，一个实际影响极小的偏差也可能得到很小的 p 值；样本量很小时，实质偏差也可能没有达到门槛。事后挑选最显著的检验再报告，会改变原先计算的错误率。

参考资料

宾夕法尼亚州立大学 STAT 500：P-Value Approach：单侧、双侧尾部与决策。
OpenStax《Introductory Statistics 2e》§9.4：p 值与样本证据。