微积分：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

微积分（calculus）研究变化率与累积量。导数从一条函数曲线求出局部变化率，积分把各小段的贡献相加；微积分基本定理说明，这两种运算为什么能够互相连接。

同一段运动，可以怎样计算

设位置函数为 $s (t) = t^{2} + 5$ ，位置以米计，时间 $t$ 以秒计。1秒时位置为6米，3秒时为14米，位置变化为8米。这是直接比较端点得到的答案。

也可以先算速度。时间 $t$ 到 $t + h$ 的平均速度为 $\frac{s (t + h) - s (t)}{h} = \frac{2 t h + h^{2}}{h} = 2 t + h .$ 让非零间隔 $h$ 趋于零，得到瞬时速度 $v (t) = 2 t$ 。若反过来只知道速度，怎样重新得到这段8米的变化？

把1至3秒等分为 $n$ 段，每段长 $h = 2 / n$ 。第 $k$ 段的左端时间为 $1 + (k - 1) h$ ，用该时刻速度估计这一段位移，总和是 $\begin{matrix} S_{n} & = \sum_{k = 1}^{n} 2 (1 + (k - 1) h) h \\ = 2 n h + 2 h^{2} \frac{n (n - 1)}{2} = 8 - \frac{4}{n} . \end{matrix}$ 速度在增加，所以左端点低估；右端点和同理为 $8 + 4 / n$ 。分段越来越细，两者都趋于8，正好等于位置的端点差。我们分别使用位置比较、差商、速度求和，最后得到相容的结果。

左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方 — 左图的高度为速度，面积表示累计位移；右图累计函数的斜率又给出原来的速度。

图右侧从0开始累计，画出的是 $t^{2}$ ；实际位置 $t^{2} + 5$ 在它上方5米。共同的速度只决定位置变化，初始位置决定这项常数。这正是下面基本定理所解释的两层关系。

基本定理第一部分：累积的变化率

设 $f$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 连续，定义 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 这里 $t$ 是被积分的哑变量， $x$ 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 $x$ ，有 $A^{'} (x) = f (x)$ 。

证明。 根据积分的区间可加性，增量 $A (x + h) - A (x)$ 等于新加入的小区间上的积分。因此 $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .$ 给定任意 $ε > 0$ ，连续性保证存在一个邻域，其中 $| f (t) - f (x) | < ε$ 。当非零 $h$ 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 $h$ 为正还是负，上式绝对值都不超过 $ε | h | / | h | = ε$ 。故差商趋于 $f (x)$ ，证毕。

在运动例子中，小区间内的速度都靠近当前速度，因此“位移增量除以时间增量”趋于当前速度。连续性保障了这个统一控制。标准陈述见 OpenStax §5.3。

基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累

仍设 $f$ 连续，并设 $F$ 在闭区间连续，在开区间内满足 $F^{'} = f$ 。上一节构造的 $A$ 满足相同导数，所以 $(F - A)^{'} = 0$ 。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是 $F (b) - A (b) = F (a) - A (a) .$ 又因为 $A (a) = 0$ ，所以 $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$ 这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。对 $f (t) = 2 t$ ，原函数 $F (t) = t^{2}$ ，于是 $\int_{1}^{3} 2 t d t = 3^{2} - 1^{2} = 8$ 。前面矩形求和的结果现在可以通过端点相减直接取得。

不定积分写成 $F (x) + C$ 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见积分。

上限变化时，累积量怎样变化

令 $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ 。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 $H (u) = \int_{0}^{u} e^{- t^{2}} d t$ ，由基本定理 $H^{'} (u) = e^{- u^{2}}$ ，再对 $G (x) = H (x^{2})$ 使用链式法则，得到 $G^{'} (x) = 2 x e^{- x^{4}} .$ 这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 $2 x$ 正记录这一点。

给定流量，求水箱何时达到指定水量

设一个理想水箱的净流入速率为 $q (t) = 6 - 2 t$ 升每分钟，在 $0 \leq t \leq 3$ 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系， $V (t) = 4 + \int_{0}^{t} (6 - 2 u) d u = 4 + 6 t - t^{2} .$ 在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 $4 + 6 t - t^{2} = 12$ ，得到 $t = 2$ 或 $t = 4$ ；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。

方程的两个根来自二次函数的对称性，但本题只规定了前三分钟的流量。也可检查 $V^{'} (t) = 6 - 2 t = q (t)$ 与 $V (0) = 4$ ：导数恢复流量，常数恢复初始存水。

用变化率找到最大面积

可导函数在一点附近满足 $f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + o (h)$ 。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。

例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 $x$ 与 $10 - x$ ，面积为 $A (x) = x (10 - x)$ ，定义域 $0 \leq x \leq 10$ 。导数 $A^{'} (x) = 10 - 2 x$ 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。

相比之下， $x^{3}$ 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，优化进一步组织可行域、存在性及最优性条件。

用有限次计算近似积分

数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3$ ，复合梯形法取 $n$ 个等长区间，每段梯形面积是同段左、右矩形面积的平均。因此 $T_{n} = (L_{n} + U_{n}) / 2$ 。将积分中平方函数的两个和式相加，一次误差项相消，留下 $T_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6 n^{2}} .$ 因此一步为 $1 / 2$ ，两步为 $3 / 8$ ，四步为 $11 / 32$ ；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。

数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 $η$ 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 $2 η / | h |$ 。因此不断减小 $h$ 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。

数值积分、牛顿法和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。

两端都在变化的积分

基本定理不只处理固定下限。若 $f$ 连续，而上下限 $a (x), b (x)$ 都可导，取一个固定参考点 $c$ ，将积分改写为 $\int_{c}^{b (x)} f - \int_{c}^{a (x)} f$ ，分别使用基本定理和链式法则，便得到 $\frac{d}{d x} \int_{a (x)}^{b (x)} f (t) d t = f (b (x)) b^{'} (x) - f (a (x)) a^{'} (x) .$ 右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 $H (x) = \int_{x}^{2 x} t^{2} d t$ ，求导为 $(2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 7 x^{2}$ ；直接先积分得到 $H (x) = 7 x^{3} / 3$ ，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。

若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。

基本定理的连续性用在何处

令速度在0之前为0，在0之后为1，零点也取1。取从0开始的累计函数，便有 $A (t) = 0$ （ $t \leq 0$ ）与 $A (t) = t$ （ $t > 0$ ）。它在0连续，但左斜率为0、右斜率为1，所以该处导数不存在。累计仍然有意义，瞬时恢复却在跳跃处失败；基本定理第一部分的连续性正是用来排除这种情况。

在连续流量模型中，储量变化率等于净输入速率，写作 $V^{'} = q$ ；给定初值后，积分形式是 $V (t) = V (0) + \int_{0}^{t} q (u) d u$ 。若净输入还依赖当前储量，例如流出量与水位有关，就得到以未知函数及其导数共同出现的微分方程。

历史：多条问题线索汇成一门学科

微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。相关年代与贡献见 MacTutor：The rise of calculus。

十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这些工作逐步明确了计算规则适用于哪些函数、其极限为何存在。

来源与继续阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3：基本定理。
同书 §4.2：局部线性近似。
OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6：数值积分。
MacTutor：The rise of calculus：历史来源。
基础路线：极限 → 导数与积分 → 微分方程；计算路线：数值积分、牛顿法。

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-微积分是研究连续变化与累积的数学分支，主要由微分学和积分学组成。微分学从函数研究局部变化率，积分学把局部量累积为整体量；极限为这两种过程提供严格的定义。
+'''微积分'''（calculus）研究变化率与累积量。[[导数]]从一条函数曲线求出局部变化率，[[积分]]把各小段的贡献相加；微积分基本定理说明，这两种运算为什么能够互相连接。
-== 三个概念怎样联系 ==
+== 同一段运动，可以怎样计算 ==
-[[极限]]回答“不断逼近时会发生什么”；[[导数]]通过差商的极限刻画瞬时变化；[[积分]]通过分割求和的极限刻画总量。这不是三个孤立的计算规则，而是一套互相联系的描述方式。
+设位置函数为 <math>s(t)=t^2+5</math>，位置以米计，时间 <math>t</math> 以秒计。1秒时位置为6米，3秒时为14米，位置变化为8米。这是直接比较端点得到的答案。
-[[File:Gezhi-calculus-accumulation.svg|frame|center|alt=左图速度函数2t在零到一时间段的面积为一，右图对应累计位移函数t平方|速度曲线下的面积给出位置变化；位置曲线的切线斜率又给出速度。]]
+也可以先算速度。时间 <math>t</math> 到 <math>t+h</math> 的平均速度为
-例如物体位置为 <math>s(t)=t^2</math> 米（<math>t</math> 以秒计）时，速度为 <math>v(t)=2t</math> 米每秒。从 <math>t=1</math> 到 <math>t=3</math>，位移是 <math>9-1=8</math> 米，也可以由 <math>\int_1^3 2t\,dt=8</math> 求得。速度的数值不是位移，连接两者的是时间积分。
+<math display="block">\frac{s(t+h)-s(t)}h=\frac{2th+h^2}h=2t+h.</math>
+让非零间隔 <math>h</math> 趋于零，得到瞬时速度 <math>v(t)=2t</math>。若反过来只知道速度，怎样重新得到这段8米的变化？
-== 微积分基本定理 ==
+把1至3秒等分为 <math>n</math> 段，每段长 <math>h=2/n</math>。第 <math>k</math> 段的左端时间为 <math>1+(k-1)h</math>，用该时刻速度估计这一段位移，总和是
-设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，定义累计函数
+<math display="block">\begin{aligned}
+S_n&=\sum_{k=1}^n2(1+(k-1)h)h\\
+&=2nh+2h^2\frac{n(n-1)}2=8-\frac4n.
+\end{aligned}</math>
+速度在增加，所以左端点低估；右端点和同理为 <math>8+4/n</math>。分段越来越细，两者都趋于8，正好等于位置的端点差。我们分别使用位置比较、差商、速度求和，最后得到相容的结果。
+[[File:Gezhi-calculus-accumulation-theme.svg|frame|center|alt=左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方|左图的高度为速度，面积表示累计位移；右图累计函数的斜率又给出原来的速度。]]
+图右侧从0开始累计，画出的是 <math>t^2</math>；实际位置 <math>t^2+5</math> 在它上方5米。共同的速度只决定位置变化，初始位置决定这项常数。这正是下面基本定理所解释的两层关系。
+== 基本定理第一部分：累积的变化率 ==
+设 <math>f</math> 在有限闭区间 <math>[a,b]</math> 连续，定义
 <math display="block">A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.</math>
-基本定理的一部分说明，在区间内部有 <math>A'(x)=f(x)</math>。其原因可由增量理解：
+这里 <math>t</math> 是被积分的哑变量，<math>x</math> 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 <math>x</math>，有 <math>A'(x)=f(x)</math>。
-<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.</math>
-右边是小区间上的平均值；连续性保证区间缩小时它趋于 <math>f(x)</math>。
+'''证明。''' 根据积分的区间可加性，增量 <math>A(x+h)-A(x)</math> 等于新加入的小区间上的积分。因此
+<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt.</math>
+给定任意 <math>\varepsilon>0</math>，连续性保证存在一个邻域，其中 <math>|f(t)-f(x)|<\varepsilon</math>。当非零 <math>h</math> 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 <math>h</math> 为正还是负，上式绝对值都不超过 <math>\varepsilon|h|/|h|=\varepsilon</math>。故差商趋于 <math>f(x)</math>，证毕。
+在运动例子中，小区间内的速度都靠近当前速度，因此“位移增量除以时间增量”趋于当前速度。连续性保障了这个统一控制。标准陈述见 [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax §5.3]。
+== 基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累 ==
+仍设 <math>f</math> 连续，并设 <math>F</math> 在闭区间连续，在开区间内满足 <math>F'=f</math>。上一节构造的 <math>A</math> 满足相同导数，所以 <math>(F-A)'=0</math>。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是
+<math display="block">F(b)-A(b)=F(a)-A(a).</math>
+又因为 <math>A(a)=0</math>，所以
+<math display="block">\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).</math>
+这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。对 <math>f(t)=2t</math>，原函数 <math>F(t)=t^2</math>，于是 <math>\int_1^3 2t\,dt=3^2-1^2=8</math>。前面矩形求和的结果现在可以通过端点相减直接取得。
+不定积分写成 <math>F(x)+C</math> 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见[[积分]]。
+== 上限变化时，累积量怎样变化 ==
+令 <math>G(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,dt</math>。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 <math>H(u)=\int_0^u e^{-t^2}\,dt</math>，由基本定理 <math>H'(u)=e^{-u^2}</math>，再对 <math>G(x)=H(x^2)</math> 使用链式法则，得到
+<math display="block">G'(x)=2x e^{-x^4}.</math>
+这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 <math>2x</math> 正记录这一点。
+== 给定流量，求水箱何时达到指定水量 ==
+设一个理想水箱的净流入速率为 <math>q(t)=6-2t</math> 升每分钟，在 <math>0\le t\le3</math> 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系，
+<math display="block">V(t)=4+\int_0^t(6-2u)\,du=4+6t-t^2.</math>
+在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 <math>4+6t-t^2=12</math>，得到 <math>t=2</math> 或 <math>t=4</math>；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。
+方程的两个根来自二次函数的对称性，但本题只规定了前三分钟的流量。也可检查 <math>V'(t)=6-2t=q(t)</math> 与 <math>V(0)=4</math>：导数恢复流量，常数恢复初始存水。
+== 用变化率找到最大面积 ==
+可导函数在一点附近满足 <math>f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)</math>。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。
+例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 <math>x</math> 与 <math>10-x</math>，面积为 <math>A(x)=x(10-x)</math>，定义域 <math>0\le x\le10</math>。导数 <math>A'(x)=10-2x</math> 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。
+相比之下，<math>x^3</math> 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，[[优化]]进一步组织可行域、存在性及最优性条件。
+== 用有限次计算近似积分 ==
+数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>，复合梯形法取 <math>n</math> 个等长区间，每段梯形面积是同段左、右矩形面积的平均。因此 <math>T_n=(L_n+U_n)/2</math>。将[[积分]]中平方函数的两个和式相加，一次误差项相消，留下
+<math display="block">T_n=\frac13+\frac1{6n^2}.</math>
+因此一步为 <math>1/2</math>，两步为 <math>3/8</math>，四步为 <math>11/32</math>；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。
+数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 <math>\eta</math> 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 <math>2\eta/|h|</math>。因此不断减小 <math>h</math> 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。
+[[数值积分]]、[[牛顿法]]和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。
+== 两端都在变化的积分 ==
+基本定理不只处理固定下限。若 <math>f</math> 连续，而上下限 <math>a(x),b(x)</math> 都可导，取一个固定参考点 <math>c</math>，将积分改写为 <math>\int_c^{b(x)}f-\int_c^{a(x)}f</math>，分别使用基本定理和链式法则，便得到
+<math display="block">\frac d{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).</math>
+右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 <math>H(x)=\int_x^{2x}t^2\,dt</math>，求导为 <math>(2x)^2\cdot2-x^2=7x^2</math>；直接先积分得到 <math>H(x)=7x^3/3</math>，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。
-另一方面，若 <math>F'=f</math>，那么
+若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。
-<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
-因为 <math>A</math> 与 <math>F</math> 的导数相同，它们在该区间只相差一个常数。基本定理把繁琐的求和极限转化为求原函数与代入端点，但使用之前仍需检查函数及端点的条件。
-== 不同问题需要不同工具 ==
+== 基本定理的连续性用在何处 ==
-{| class="wikitable"
+令速度在0之前为0，在0之后为1，零点也取1。取从0开始的累计函数，便有 <math>A(t)=0</math>（<math>t\le0</math>）与 <math>A(t)=t</math>（<math>t>0</math>）。它在0连续，但左斜率为0、右斜率为1，所以该处导数不存在。累计仍然有意义，瞬时恢复却在跳跃处失败；基本定理第一部分的连续性正是用来排除这种情况。
-! 问题 !! 数学量 !! 需要保留的信息
-|-
-| 某时刻变化多快 || 导数 || 自变量、单位、该点是否可导
-|-
-| 一段时间累计多少 || 定积分 || 上下限、正负方向、是否收敛
-|-
-| 变化率已知，求原量 || 原函数或微分方程 || 初始值决定积分常数
-|-
-| 寻找最大或最小值 || 导数与优化 || 驻点、不可导点及边界
-|}
-例如只知道速度为 <math>2t</math>，只能推出位置 <math>s(t)=t^2+C</math>。再知道 <math>s(0)=5</math>，才确定 <math>C=5</math>。变化率会丢失常数信息，积分无法凭空恢复初始位置。
-== 解析解之外：数值近似 ==
+在连续流量模型中，储量变化率等于净输入速率，写作 <math>V'=q</math>；给定初值后，积分形式是 <math>V(t)=V(0)+\int_0^tq(u)\,du</math>。若净输入还依赖当前储量，例如流出量与水位有关，就得到以未知函数及其导数共同出现的[[微分方程]]。
-不是每个原函数都能用有限个初等函数表示。数值积分仍可以近似定积分。例如用梯形法估计 <math>\int_0^1x^2\,dx</math>，一步得到 <math>1/2</math>，两等分得到 <math>3/8</math>，四等分得到 <math>11/32</math>，逐步接近真值 <math>1/3</math>。
-近似结果需要误差控制。数据有噪声时，差分会把误差除以很小的步长，所以“步长越小就一定越准”并不成立；数值微分需要平衡截断误差与数据、舍入误差。
+== 历史：多条问题线索汇成一门学科 ==
+微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。相关年代与贡献见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]。
-== 进一步的方向 ==
+十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这些工作逐步明确了计算规则适用于哪些函数、其极限为何存在。
-多元微积分把导数推广到偏导数、梯度和线性映射，把积分推广到平面、空间及曲线曲面。[[线性代数]]描述这些局部线性结构，[[微分方程]]描述未知函数与其导数之间的关系，[[数学建模]]则把现实假设转成可计算的量。
-== 延伸阅读 ==
+== 来源与继续阅读 ==
-* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：微积分基本定理。
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：基本定理。
-* [[导数]] · [[积分]] · [[优化]] · [[微分方程]]
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-2-linear-approximations-and-differentials 同书 §4.2]：局部线性近似。
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-6-numerical-integration OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6]：数值积分。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]：历史来源。
+* 基础路线：[[极限]] → [[导数]]与[[积分]] → [[微分方程]]；计算路线：[[数值积分]]、[[牛顿法]]。
 [[分类:分析]]