圆锥曲线：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

圆锥曲线（conic sections）包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。它们可以由平面截取圆锥面得到，也可以由距离条件或二元二次方程描述。下面先从两个固定点和一根绳子出发，说明距离怎样决定一条曲线。

两个钉子、一根绳子

在平面上取两个相距八单位的点，把它们记为 $F_{1} = (- 4, 0)$ 、 $F_{2} = (4, 0)$ 。设一根不可伸长的绳子两端固定在这两点，绳长为十。用笔尖把绳子绷紧，移动笔尖，笔尖所在点 $P$ 总满足 $P F_{1} + P F_{2} = 10.$ 画出的曲线是椭圆，两个固定点称为焦点。笔尖在 $(0, 3)$ 时，两段绳长都是五；在 $(5, 0)$ 时，两段绳长是一和九。点虽然换了，长度和仍为十。

并排的椭圆、抛物线与双曲线图，焦点标为小点，抛物线准线画为虚线 — 距离条件分别控制“和”“相等”与“差的绝对值”。三幅图使用各自坐标尺度，不能直接比较图中的长度。

看图中的椭圆，焦点位于长轴上、曲线内部。中间的抛物线使用一个焦点和一条虚线准线；右边的双曲线使用两个焦点。三幅图依次比较距离的和、距离是否相等、距离差的绝对值。点到准线的距离沿垂线量取。每幅图使用自己的尺度，图上看起来相近的线段不一定代表同样长度。

从绳长条件推出椭圆方程

对点 $P = (x, y)$ ，把到左、右焦点的距离记为 $r_{1}, r_{2}$ 。根据勾股定理， $r_{1}^{2} = (x + 4)^{2} + y^{2}, r_{2}^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2} .$ 相减后 $y^{2}$ 消去，得到 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 16 x$ 。另一方面，平方差可拆成 $(r_{1} - r_{2}) (r_{1} + r_{2})$ ；绳长条件已经告诉我们第二个因子是十。因此 $r_{1} - r_{2} = \frac{8}{5} x, r_{1} = 5 + \frac{4}{5} x .$ 把这个表达式代回距离平方，展开两边： $x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} = 25 + 8 x + \frac{16}{25} x^{2} .$ 消去 $8 x$ ，把平方项收集起来： $\frac{9}{25} x^{2} + y^{2} = 9, \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$ 在横轴上令 $y = 0$ ，得到两端 $x = \pm 5$ ；在纵轴上令 $x = 0$ ，得到 $y = \pm 3$ 。椭圆的半长轴、半短轴分别是五、三，整条轴长分别是十、六。

焦点在横坐标负四与四，椭圆顶点零三到两焦点距离都为五 — 绳长十、焦点间距八的椭圆。两条金色线段长度之和保持为十。

图中取的是上端点，两个直角三角形的直角边为三、四，所以两段斜边都为五。笔尖移动到右端点后，两个距离成为一和九；它们的和相同。

一般地，焦点为 $(\pm c, 0)$ ，距离和为 $2 a$ ，其中 $a > c \geq 0$ 。重复上面的平方差步骤得到 $r_{1} = a + \frac{c x}{a}, r_{2} = a - \frac{c x}{a}, \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1.$ 令 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ ，就得到常用的标准方程 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ 。

方程与距离条件还要反向核对：方程给出 $| x | \leq a$ ，所以 $a \pm c x / a$ 都为正；它们的平方恰好是两段距离平方，故确实就是两段距离，和为 $2 a$ 。如果 $c = 0$ ，焦点重合， $b = a$ ，曲线成为圆。若距离和只有焦点间距 $2 c$ ，可行点只有两焦点之间的线段；小于这个间距时，没有可行点。OpenStax：椭圆

等距离给出抛物线

现在固定一个焦点 $F = (2, 1)$ ，再固定准线 $x = - 2$ ，寻找与两者等距的全部点。点 $P = (x, y)$ 到焦点的距离为 $\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}}$ ，到准线的距离为 $| x + 2 |$ 。因此 $\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}} = | x + 2 | .$ 两边非负，平方后仍等价。展开 $(x - 2)^{2}$ 与 $(x + 2)^{2}$ ，消去相同项，得到 $(y - 1)^{2} = 8 x .$ 曲线只能在 $x \geq 0$ 的区域；横坐标最小的点为 $(0, 1)$ ，称为顶点。取 $(2, 5)$ ，到焦点的距离为四，到准线的距离也为四，直接验证了定义。

抛物线上点二五到焦点二一的竖直距离与到准线横坐标负二的水平距离都为四 — 从点 P 向准线作垂线，垂足为 H。PF 与 PH 是定义中要比较的两段距离。

图中的直角标记说明 PH 垂直于准线，长度是点到直线的距离。金色的 PF 与 PH 相等；P 换到曲线别处，两段的方向与长度会变化，等距关系仍保持。

把顶点移到原点，焦点写成 $(p, 0)$ ，准线写成 $x = - p$ ，同一推导得到 $y^{2} = 4 p x$ ，其中 $p > 0$ 是顶点到焦点的距离。这说明方程中的系数为什么是 $4 p$ 。这里要求焦点不在准线上。若焦点落在准线上，等距点集便退化为过该点且垂直于准线的直线。

距离差给出双曲线

把焦点改为 $F_{1} = (- 5, 0)$ 、 $F_{2} = (5, 0)$ ，这次要求两距离的差的绝对值为六。右侧一支上的点更靠近右焦点，因此 $r_{1} - r_{2} = 6$ 。又有 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 20 x$ ，于是 $r_{1} + r_{2} = \frac{10 x}{3}, r_{1} = \frac{5 x}{3} + 3.$ 将后式平方，与 $(x + 5)^{2} + y^{2}$ 相等，消去一次项，得到 $x^{2} + 25 + y^{2} = \frac{25 x^{2}}{9} + 9, \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1.$ 右支满足 $x \geq 3$ ；交换距离差的符号得到关于纵轴对称的左支。右顶点 $(3, 0)$ 到两焦点的距离为八和二，差恰为六。

双曲线右上支点的横坐标为五、纵坐标为三分之十六，到两焦点距离为34/3及16/3，竖线标示它与渐近线的高度差4/3 — 金色线段比较焦点距离，青色短线比较曲线与渐近线的高度。

图中取 P=(5,16/3)，两焦点距离为 34/3 与 16/3，相差六。该横坐标处的渐近线高度为 20/3，比曲线高 4/3；随着点向右移，这个高度差逐渐变小，下面将证明它趋于零。

对一般焦点 $(\pm c, 0)$ ，给定正距离差 $2 a$ 且 $0 < a < c$ ，令 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ，得到 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ 在右支 $x \geq a$ 上，距离为 $c x / a + a$ 与 $c x / a - a$ ，二者非负且差为 $2 a$ ；左支由对称性得到。这也完成了方程到距离定义的反向验证。

在图的双曲线部分，两支向外延伸，逐渐靠近两条斜线。对当前例子的右上支， $y = \frac{4}{3} \sqrt{x^{2} - 9} .$ 它与直线 $y = 4 x / 3$ 的纵向差为 $y - \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} (\sqrt{x^{2} - 9} - x) = \frac{4}{3} \frac{- 9}{\sqrt{x^{2} - 9} + x} ⟶ 0.$ 最后一步将平方根之差乘以共轭式，分子变为常数、分母趋于无穷。到直线的垂直距离也随之趋零，所以这条直线是渐近线。其余分支由对称性得到，完整的两条渐近线为 $y = \pm 4 x / 3$ 。渐近线上的点不满足原方程：代入左边得到零，而曲线上应等于一。

方程中的平移与旋转

坐标原点不在曲线中心时，方程会出现一次项。例如 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0.$ 把同一变量放在一起，分别补成平方： $4 [(x - 1)^{2} - 1] + 9 [(y + 2)^{2} - 4] + 4 = 0.$ 常数合并为 $- 36$ ，移到右边，再除以三十六，得到 $\frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1.$ 它是把半轴三和二的椭圆移到中心 $(1, - 2)$ 。焦距参数为 $\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ ，焦点为 $(1 \pm \sqrt{5}, - 2)$ 。

轴的方向发生旋转时，还会出现交叉项。例如 $5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} = 8$ 。沿两条互相垂直的方向 $x = y$ 和 $x = - y$ 选新坐标： $u = \frac{x + y}{\sqrt{2}}, v = \frac{- x + y}{\sqrt{2}} .$ 反解得 $x = (u - v) / \sqrt{2}$ 、 $y = (u + v) / \sqrt{2}$ ，因此 $x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2}, x y = \frac{u^{2} - v^{2}}{2} .$ 代入原式便得到 $5 (u^{2} + v^{2}) - 3 (u^{2} - v^{2}) = 8$ ，即 $u^{2} / 4 + v^{2} = 1$ 。这仍是椭圆，半轴为二和一，长轴沿 $x = y$ 。交叉项记录了轴的方向，并不单独决定曲线类型。

怎样分类一般二次方程

一般方程写为 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，其中二次项不全为零。平移和正交旋转可以把它化为易读的形式。常用的判别量 $Δ = B^{2} - 4 A C$ 用来区分二次部分的类型，但还需检查整条曲线是否退化、是否有实点。

判别量	非退化且有实点时的类型	一种标准形式
$Δ < 0$	椭圆，包含圆	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$
$Δ = 0$	抛物线	$y^{2} = 4 p x$ ， $p \neq 0$
$Δ > 0$	双曲线	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$

例如 $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ 的判别量为负，却没有实点； $x^{2} + y^{2} = 0$ 只有原点； $x^{2} - y^{2} = 0$ 可以分解为 $(x - y) (x + y) = 0$ ，是两条相交直线。它们都不能直接按表中的三种非退化曲线命名。

用矩阵可以统一检查退化：构造 $M = (\begin{matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \end{matrix}) .$ 当 $det M \neq 0$ 时，方程在射影二次曲线意义下非退化；在本文的实平面中仍要检查实解。手算时，先配方或分解通常更直观：两个正平方的和等于正数、零、负数，分别给出椭圆、单点、空集。把整个方程乘以任意非零常数不改变点集，因此检验的是这些条件，而不是某个孤立系数的正负。

离心率怎样统一三种距离条件

给定焦点 $F$ 与不经过它的准线 $ℓ$ ，要求点 $P$ 满足 $d (P, F) = e d (P, ℓ)$ ，其中 $e > 0$ 是固定的距离比，称为离心率。

取 $F = (0, 0)$ 、 $ℓ : x = d$ ，其中 $d > 0$ 。平方距离条件得到 $x^{2} + y^{2} = e^{2} (x - d)^{2}, (1 - e^{2}) x^{2} + y^{2} + 2 e^{2} d x - e^{2} d^{2} = 0.$ 若 $e < 1$ ，两个平方项同号，配方得到椭圆；若 $e > 1$ ，平方项异号，得到双曲线；若 $e = 1$ ， $x^{2}$ 项消失，留下抛物线。这个方程的完整矩阵行列式为 $- e^{2} d^{2} \neq 0$ ，且焦点与准线之间的线段上存在满足比例的点，所以这里三种情形都确有实点而不退化。

椭圆和双曲线的离心率都可写为 $e = c / a$ 。开头绳长十、焦点间距八的椭圆，离心率为 $4 / 5$ ；双曲线例子则为 $5 / 3$ 。它们不依赖统一放大的尺度。圆的离心率约定为零，是椭圆焦点重合的极限情形；若直接在有限准线条件里代入 $e = 0$ ，只会得到焦点本身，因而圆应单独处理。

截面与历史

在三维空间中，平面截取双叶圆锥面可得到这三类曲线。平面经过锥顶时还会产生点或直线等退化截面；这与二次方程中出现的退化情形相对应。距离定义适合推出焦点和轴长，二次方程适合计算平移、旋转与拟合，截面则说明“圆锥曲线”名称的来源。

公元前四世纪的梅内克缪斯与早期圆锥曲线及倍立方研究有关；阿波罗尼奥斯在约公元前三世纪至前二世纪的《圆锥曲线论》中系统发展了截面理论。古典研究主要使用几何比例与构造，本文的坐标方程属于后来的解析表达。MacTutor：Menaechmus；MacTutor：Apollonius

参考资料与知识联系

OpenStax，《Precalculus 2e》，10.1 The Ellipse、10.2 The Hyperbola、10.3 The Parabola、10.4 Rotation of Axes。可参阅标准参数与主轴变换。
MacTutor，University of St Andrews：Menaechmus、Apollonius。有关人物、作品与史料背景。
前置：勾股定理、欧氏几何；后续：矩阵、最小二乘法、数学建模。

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-'''圆锥曲线'''（conic sections）是平面与圆锥面相交得到的曲线族；在实平面中的非退化情形，它们包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。圆锥曲线还可以用距离关系描述，或写成二元二次方程。三种描述分别突出空间截面、焦点几何与代数分类，彼此有关，但使用时必须说明退化与实点条件。
+'''圆锥曲线'''（conic sections）包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。它们可以由平面截取圆锥面得到，也可以由距离条件或二元二次方程描述。下面先从两个固定点和一根绳子出发，说明距离怎样决定一条曲线。
-本条目讨论欧氏平面中的实圆锥曲线。距离总取非负的欧氏距离；坐标变换主要指平移和正交旋转。仅从一张倾斜的图判断形状，或仅凭二次项判别式判断整条曲线，都不足以完成分类。
+== 两个钉子、一根绳子 ==
+在平面上取两个相距八单位的点，把它们记为 <math>F_1=(-4,0)</math>、<math>F_2=(4,0)</math>。设一根不可伸长的绳子两端固定在这两点，绳长为十。用笔尖把绳子绷紧，移动笔尖，笔尖所在点 <math>P</math> 总满足
+<math display="block">PF_1+PF_2=10.</math>
+画出的曲线是椭圆，两个固定点称为焦点。笔尖在 <math>(0,3)</math> 时，两段绳长都是五；在 <math>(5,0)</math> 时，两段绳长是一和九。点虽然换了，长度和仍为十。
-== 从切圆锥到固定距离关系 ==
+[[File:Gezhi-conics-theme.svg|frame|center|alt=并排的椭圆、抛物线与双曲线图，焦点标为小点，抛物线准线画为虚线|距离条件分别控制“和”“相等”与“差的绝对值”。三幅图使用各自坐标尺度，不能直接比较图中的长度。]]
-想象一个双叶圆锥面。平面与其中一叶相交可以产生闭合椭圆，也可以在适当方向得到抛物线；与两叶相交则可产生双曲线的两支。如果平面经过锥顶，交集还可能是一个点、一条直线或两条相交直线。因此“由平面切圆锥得到”并不意味着结果总是三种常见光滑曲线之一。
-对于平面几何，焦点的定义更便于计算。椭圆上点到两个固定焦点的距离之和固定；双曲线上点到两个焦点的距离之差的绝对值固定；抛物线上点到一个焦点与一条准线的距离相等。点到直线的距离指垂线段的长度，不是到直线上随便一个点的距离。
+看图中的椭圆，焦点位于长轴上、曲线内部。中间的抛物线使用一个焦点和一条虚线准线；右边的双曲线使用两个焦点。三幅图依次比较距离的和、距离是否相等、距离差的绝对值。点到准线的距离沿垂线量取。每幅图使用自己的尺度，图上看起来相近的线段不一定代表同样长度。
-[[File:Gezhi-conics.svg|frame|center|alt=并排的椭圆、抛物线与双曲线图，焦点标为小点，抛物线准线画为虚线|距离条件分别控制“和”“相等”与“差的绝对值”。三幅图使用各自坐标尺度，不能直接比较图中的长度。]]
+== 从绳长条件推出椭圆方程 ==
+对点 <math>P=(x,y)</math>，把到左、右焦点的距离记为 <math>r_1,r_2</math>。根据勾股定理，
+<math display="block">r_1^2=(x+4)^2+y^2,\qquad r_2^2=(x-4)^2+y^2.</math>
+相减后 <math>y^2</math> 消去，得到 <math>r_1^2-r_2^2=16x</math>。另一方面，平方差可拆成 <math>(r_1-r_2)(r_1+r_2)</math>；绳长条件已经告诉我们第二个因子是十。因此
+<math display="block">r_1-r_2=\frac85x,\qquad r_1=5+\frac45x.</math>
+把这个表达式代回距离平方，展开两边：
+<math display="block">x^2+8x+16+y^2=25+8x+\frac{16}{25}x^2.</math>
+消去 <math>8x</math>，把平方项收集起来：
+<math display="block">\frac9{25}x^2+y^2=9,\qquad \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.</math>
+在横轴上令 <math>y=0</math>，得到两端 <math>x=\pm5</math>；在纵轴上令 <math>x=0</math>，得到 <math>y=\pm3</math>。椭圆的半长轴、半短轴分别是五、三，整条轴长分别是十、六。
-这些定义中的常数有限制。椭圆的距离和必须大于两焦点的间距，否则只得到线段或空集；双曲线的正距离差必须小于焦点间距，否则不会得到通常的双曲线；抛物线的焦点不能位于准线上，否则等距条件退化。这些限制是图形存在并保持非退化的原因。
+[[File:Gezhi-teaching-ellipse-distances.svg|frame|center|alt=焦点在横坐标负四与四，椭圆顶点零三到两焦点距离都为五|绳长十、焦点间距八的椭圆。两条金色线段长度之和保持为十。]]
-== 椭圆：绳长不变怎样变成标准方程 ==
+图中取的是上端点，两个直角三角形的直角边为三、四，所以两段斜边都为五。笔尖移动到右端点后，两个距离成为一和九；它们的和相同。
-把两个焦点放在 <math>F_1=(-c,0)</math>、<math>F_2=(c,0)</math>，设距离和为 <math>2a</math>，并假定 <math>a>c\ge0</math>。记 <math>b^2=a^2-c^2>0</math>。当 <math>c=0</math> 时两焦点重合，椭圆成为半径为 <math>a</math> 的圆；下面的推导也涵盖这种情形。
-对点 <math>P=(x,y)</math>，记到两焦点的距离为 <math>r_1,r_2</math>。由 <math>r_1+r_2=2a</math> 和两距离平方之差，可以得到
+一般地，焦点为 <math>(\pm c,0)</math>，距离和为 <math>2a</math>，其中 <math>a>c\ge0</math>。重复上面的平方差步骤得到
-<math display="block">r_1^2-r_2^2=4cx,\qquad r_1-r_2=\frac{2cx}{a}.</math>
+<math display="block">r_1=a+\frac{cx}{a},\qquad r_2=a-\frac{cx}{a},\qquad \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.</math>
-因此 <math>r_1=a+cx/a</math>、<math>r_2=a-cx/a</math>。把第一个等式平方，再代入 <math>r_1^2=(x+c)^2+y^2</math>，整理得到
+令 <math>b^2=a^2-c^2</math>，就得到常用的标准方程 <math>x^2/a^2+y^2/b^2=1</math>。
-<math display="block">\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.</math>
-于是椭圆的标准方程为 <math>x^2/a^2+y^2/b^2=1</math>。其中 <math>a,b</math> 是半轴长，整条长轴、短轴分别为 <math>2a,2b</math>。公式里的较大分母决定长轴方向，而不是字母名称本身决定方向。
-平方运算需要检查反向是否引入额外解。标准方程给出 <math>|x|\le a</math>，又因 <math>c<a</math>，两个表达式 <math>a\pm cx/a</math> 都为正；其平方分别等于两距离的平方，所以它们确实就是距离本身，和为 <math>2a</math>。至此证明了定义与方程的等价，而不是只证明一个方向。关于标准方程与焦点参数的教材核对见 [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-1-the-ellipse OpenStax 10.1]。
+方程与距离条件还要反向核对：方程给出 <math>|x|\le a</math>，所以 <math>a\pm cx/a</math> 都为正；它们的平方恰好是两段距离平方，故确实就是两段距离，和为 <math>2a</math>。如果 <math>c=0</math>，焦点重合，<math>b=a</math>，曲线成为圆。若距离和只有焦点间距 <math>2c</math>，可行点只有两焦点之间的线段；小于这个间距时，没有可行点。[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-1-the-ellipse OpenStax：椭圆]
-例如 <math>x^2/25+y^2/9=1</math> 中，半长轴为五、半短轴为三，焦距参数为 <math>c=\sqrt{25-9}=4</math>。焦点是 <math>(\pm4,0)</math>，焦点间距为八。点 <math>(0,3)</math> 到两个焦点的距离都为五；点 <math>(5,0)</math> 的两个距离为一和九，两组距离和都为十。这个检查同时区分了半长轴、长轴和焦点间距三个容易混淆的量。
+== 等距离给出抛物线 ==
+现在固定一个焦点 <math>F=(2,1)</math>，再固定准线 <math>x=-2</math>，寻找与两者等距的全部点。点 <math>P=(x,y)</math> 到焦点的距离为 <math>\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}</math>，到准线的距离为 <math>|x+2|</math>。因此
+<math display="block">\sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2}=|x+2|.</math>
+两边非负，平方后仍等价。展开 <math>(x-2)^2</math> 与 <math>(x+2)^2</math>，消去相同项，得到
+<math display="block">(y-1)^2=8x.</math>
+曲线只能在 <math>x\ge0</math> 的区域；横坐标最小的点为 <math>(0,1)</math>，称为顶点。取 <math>(2,5)</math>，到焦点的距离为四，到准线的距离也为四，直接验证了定义。
-== 抛物线与双曲线：同样是距离，约束却不同 ==
+[[File:Gezhi-teaching-parabola-distance.svg|frame|center|alt=抛物线上点二五到焦点二一的竖直距离与到准线横坐标负二的水平距离都为四|从点 P 向准线作垂线，垂足为 H。PF 与 PH 是定义中要比较的两段距离。]]
-=== 抛物线的焦点—准线推导 ===
-设焦点为 <math>F=(p,0)</math>，准线为 <math>x=-p</math>，其中 <math>p>0</math>。等距条件是
-<math display="block">\sqrt{(x-p)^2+y^2}=|x+p|.</math>
-左右都非负，因此平方是等价步骤。整理后得到 <math>y^2=4px</math>。它自动保证 <math>x\ge0</math>，顶点为原点，向右开口。参数 <math>p</math> 是顶点到焦点的距离，而不是抛物线方程中二次项的系数。
-若焦点改为 <math>(2,1)</math>、准线改为 <math>x=-2</math>，顶点是 <math>(0,1)</math>，平移后的方程为 <math>(y-1)^2=8x</math>。取点 <math>(2,5)</math>，到焦点距离为四，到准线距离也为四，且代入方程得到十六等于十六。这一例子说明顶点并不必位于坐标原点，识别焦点与准线比背诵一种朝向的方程更稳定。
+图中的直角标记说明 PH 垂直于准线，长度是点到直线的距离。金色的 PF 与 PH 相等；P 换到曲线别处，两段的方向与长度会变化，等距关系仍保持。
-=== 双曲线的两支与渐近线 ===
+把顶点移到原点，焦点写成 <math>(p,0)</math>，准线写成 <math>x=-p</math>，同一推导得到 <math>y^2=4px</math>，其中 <math>p>0</math> 是顶点到焦点的距离。这说明方程中的系数为什么是 <math>4p</math>。这里要求焦点不在准线上。若焦点落在准线上，等距点集便退化为过该点且垂直于准线的直线。
-设焦点仍为 <math>(\pm c,0)</math>，固定距离差的绝对值为 <math>2a</math>，假定 <math>0<a<c</math>。令 <math>b^2=c^2-a^2</math>，所得标准方程是
+== 距离差给出双曲线 ==
+把焦点改为 <math>F_1=(-5,0)</math>、<math>F_2=(5,0)</math>，这次要求两距离的差的绝对值为六。右侧一支上的点更靠近右焦点，因此 <math>r_1-r_2=6</math>。又有 <math>r_1^2-r_2^2=20x</math>，于是
+<math display="block">r_1+r_2=\frac{10x}{3},\qquad r_1=\frac{5x}{3}+3.</math>
+将后式平方，与 <math>(x+5)^2+y^2</math> 相等，消去一次项，得到
+<math display="block">x^2+25+y^2=\frac{25x^2}{9}+9,\qquad \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1.</math>
+右支满足 <math>x\ge3</math>；交换距离差的符号得到关于纵轴对称的左支。右顶点 <math>(3,0)</math> 到两焦点的距离为八和二，差恰为六。
+[[File:Gezhi-teaching-hyperbola-asymptote.svg|frame|center|alt=双曲线右上支点的横坐标为五、纵坐标为三分之十六，到两焦点距离为34/3及16/3，竖线标示它与渐近线的高度差4/3|金色线段比较焦点距离，青色短线比较曲线与渐近线的高度。]]
+图中取 P=(5,16/3)，两焦点距离为 34/3 与 16/3，相差六。该横坐标处的渐近线高度为 20/3，比曲线高 4/3；随着点向右移，这个高度差逐渐变小，下面将证明它趋于零。
+对一般焦点 <math>(\pm c,0)</math>，给定正距离差 <math>2a</math> 且 <math>0<a<c</math>，令 <math>b^2=c^2-a^2</math>，得到
 <math display="block">\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.</math>
-左、右两支分别对应两种距离差符号。若把绝对值去掉而固定其中一种符号，只会得到一支。与椭圆相比，关系从 <math>c^2=a^2-b^2</math> 变成 <math>c^2=a^2+b^2</math>，焦点位于顶点之外。
+在右支 <math>x\ge a</math> 上，距离为 <math>cx/a+a</math> 与 <math>cx/a-a</math>，二者非负且差为 <math>2a</math>；左支由对称性得到。这也完成了方程到距离定义的反向验证。
-对 <math>x^2/9-y^2/16=1</math>，有 <math>a=3,b=4,c=5</math>。右顶点 <math>(3,0)</math> 到两焦点距离为二和八，差为六。曲线的渐近线为 <math>y=\pm4x/3</math>；把方程除以 <math>x^2</math>，当 <math>|x|</math> 增大时可以看出斜率趋近这两个值。渐近线并不是曲线的一部分，原方程中的常数一正是它与退化直线对之间的区别。 仅有斜率趋近还不足以证明存在该渐近线。以右上支为例，<math>y=\frac43\sqrt{x^2-9}</math>，有
+在图的双曲线部分，两支向外延伸，逐渐靠近两条斜线。对当前例子的右上支，
-<math display="block">y-\frac43x=\frac43\frac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}\longrightarrow0\quad(x\to+\infty).</math>
+<math display="block">y=\frac43\sqrt{x^2-9}.</math>
-这说明纵向差、进而到直线的垂直距离趋于零；其余分支由对称性得到。
+它与直线 <math>y=4x/3</math> 的纵向差为
+<math display="block">y-\frac43x=\frac43\bigl(\sqrt{x^2-9}-x\bigr)=\frac43\frac{-9}{\sqrt{x^2-9}+x}\longrightarrow0.</math>
+最后一步将平方根之差乘以共轭式，分子变为常数、分母趋于无穷。到直线的垂直距离也随之趋零，所以这条直线是渐近线。其余分支由对称性得到，完整的两条渐近线为 <math>y=\pm4x/3</math>。渐近线上的点不满足原方程：代入左边得到零，而曲线上应等于一。
-== 一般二次方程：坐标会变，怎样完成分类 ==
+== 方程中的平移与旋转 ==
-一般二次方程写成
+坐标原点不在曲线中心时，方程会出现一次项。例如
-<math display="block">Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,</math>
+<math display="block">4x^2+9y^2-8x+36y+4=0.</math>
-其中二次项不全为零。二次部分可记为对称矩阵
+把同一变量放在一起，分别补成平方：
-<math display="block">Q=\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}.</math>
+<math display="block">4[(x-1)^2-1]+9[(y+2)^2-4]+4=0.</math>
-正交旋转改变矩阵的坐标表示，但不改变其特征值；通过选择主轴方向可以消去交叉项。平移随后用来完成平方或定位顶点。不能把“出现 <math>xy</math>”等同于“双曲线”，因为旋转后的椭圆也可能出现交叉项。
+常数合并为 <math>-36</math>，移到右边，再除以三十六，得到
+<math display="block">\frac{(x-1)^2}{9}+\frac{(y+2)^2}{4}=1.</math>
+它是把半轴三和二的椭圆移到中心 <math>(1,-2)</math>。焦距参数为 <math>\sqrt{9-4}=\sqrt5</math>，焦点为 <math>(1\pm\sqrt5,-2)</math>。
-常见判别量是 <math>\Delta=B^2-4AC</math>，它等于 <math>-4\det Q</math>。在'''非退化且有实点'''的条件下，其符号区分三种类型。完整判断还要考虑整个方程对应的矩阵
+轴的方向发生旋转时，还会出现交叉项。例如 <math>5x^2-6xy+5y^2=8</math>。沿两条互相垂直的方向 <math>x=y</math> 和 <math>x=-y</math> 选新坐标：
-<math display="block">M=\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}.</math>
+<math display="block">u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2}.</math>
-作为射影二次曲线，<math>\det M\ne0</math> 是非退化条件；实平面中还必须确认有实解。教材中的简表只有与这些前提一起使用才不会误导。
+反解得 <math>x=(u-v)/\sqrt2</math>、<math>y=(u+v)/\sqrt2</math>，因此
+<math display="block">x^2+y^2=u^2+v^2,\qquad xy=\frac{u^2-v^2}{2}.</math>
+代入原式便得到 <math>5(u^2+v^2)-3(u^2-v^2)=8</math>，即 <math>u^2/4+v^2=1</math>。这仍是椭圆，半轴为二和一，长轴沿 <math>x=y</math>。交叉项记录了轴的方向，并不单独决定曲线类型。
+== 怎样分类一般二次方程 ==
+一般方程写为 <math>Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0</math>，其中二次项不全为零。平移和正交旋转可以把它化为易读的形式。常用的判别量 <math>\Delta=B^2-4AC</math> 用来区分二次部分的类型，但还需检查整条曲线是否退化、是否有实点。
-<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="非退化实圆锥曲线的标准方程与分类" tabindex="0">
+<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="非退化且存在实点的圆锥曲线分类" tabindex="0">
 {| class="wikitable"
-! 类型 !! 标准方程之一 !! 条件与诊断
+! 判别量 !! 非退化且有实点时的类型 !! 一种标准形式
 |-
-| 椭圆型 || <math>x^2/a^2+y^2/b^2=1</math> || <math>a,b>0</math>；<math>\Delta<0</math>；圆为 <math>a=b</math>
+| <math>\Delta<0</math> || 椭圆，包含圆 || <math>x^2/a^2+y^2/b^2=1</math>，<math>a,b>0</math>
 |-
-| 抛物线型 || <math>y^2=4px</math> || <math>p\ne0</math>；<math>\Delta=0</math>；符号控制开口
+| <math>\Delta=0</math> || 抛物线 || <math>y^2=4px</math>，<math>p\ne0</math>
 |-
-| 双曲线型 || <math>x^2/a^2-y^2/b^2=1</math> || <math>a,b>0</math>；<math>\Delta>0</math>；两支
+| <math>\Delta>0</math> || 双曲线 || <math>x^2/a^2-y^2/b^2=1</math>，<math>a,b>0</math>
 |}
 </div>
-这张表不把点、空集或两条直线称为非退化椭圆或双曲线。比如 <math>x^2+y^2+1=0</math> 的判别量为负且 <math>\det M\ne0</math>，却没有实点；<math>x^2+y^2=0</math> 只有一个点；<math>x^2-y^2=0</math> 是直线 <math>y=x</math> 与 <math>y=-x</math> 的并。三者分别暴露了“有实点”“非退化”和“二次式不能拆成直线”这些条件的作用。
+例如 <math>x^2+y^2+1=0</math> 的判别量为负，却没有实点；<math>x^2+y^2=0</math> 只有原点；<math>x^2-y^2=0</math> 可以分解为 <math>(x-y)(x+y)=0</math>，是两条相交直线。它们都不能直接按表中的三种非退化曲线命名。
-=== 算例：平移后的椭圆 ===
+用[[矩阵]]可以统一检查退化：构造
-对方程 <math>4x^2+9y^2-8x+36y+4=0</math>，先按变量分组并配方：
+<math display="block">M=\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}.</math>
-<math display="block">4(x-1)^2+9(y+2)^2=36.</math>
+当 <math>\det M\ne0</math> 时，方程在射影二次曲线意义下非退化；在本文的实平面中仍要检查实解。手算时，先配方或分解通常更直观：两个正平方的和等于正数、零、负数，分别给出椭圆、单点、空集。把整个方程乘以任意非零常数不改变点集，因此检验的是这些条件，而不是某个孤立系数的正负。
-除以三十六得 <math>(x-1)^2/9+(y+2)^2/4=1</math>。所以中心为 <math>(1,-2)</math>，半轴长为三和二，焦点是 <math>(1\pm\sqrt5,-2)</math>。若配方后右端变成零或负数，结论就会变为单点或空集；配方后常数的符号不能跳过。
-=== 算例：含交叉项的椭圆 ===
-对 <math>5x^2-6xy+5y^2=8</math>，令
-<math display="block">u=\frac{x+y}{\sqrt2},\qquad v=\frac{-x+y}{\sqrt2}.</math>
-该变换保持长度与角度。代入得到 <math>2u^2+8v^2=8</math>，即 <math>u^2/4+v^2=1</math>。曲线是长轴沿 <math>x=y</math> 的椭圆，半轴长为二和一。这里 <math>\Delta=36-100=-64</math> 与结果一致，但真正给出方向、轴长和实点的是后续的主轴计算。
-== 离心率把三种曲线放进同一个定义 ==
-固定点 <math>F</math> 与不经过它的直线 <math>\ell</math>，考虑
-<math display="block">d(P,F)=e\,d(P,\ell),\qquad e>0.</math>
-参数 <math>e</math> 称为离心率。小于一时是非圆椭圆，等于一时是抛物线，大于一时是双曲线。椭圆和双曲线都满足 <math>e=c/a</math>，但其 <math>c,a</math> 的大小关系不同。离心率没有单位，整体相似放大不会改变它。
-圆的离心率约定为零；不能把上述有限准线定义直接代入 <math>e=0</math>，因为那样得到的是点 <math>P=F</math>，不是普通圆。圆可看成椭圆焦点合并、相关准线退向无穷的极限。定义的极限情形与直接把参数代为零不总是一回事。
+== 离心率怎样统一三种距离条件 ==
+给定焦点 <math>F</math> 与不经过它的准线 <math>\ell</math>，要求点 <math>P</math> 满足 <math>d(P,F)=e\,d(P,\ell)</math>，其中 <math>e>0</math> 是固定的距离比，称为离心率。
-离心率也不是“长轴长度”的另一个名字。两个不同大小的椭圆可以有相同离心率；一个圆无论半径多大，离心率都是零。若把一个椭圆沿某方向拉伸而非整体按比例放大，欧氏距离被改变，离心率通常也随之改变。这说明分类时所允许的坐标变换必须明确：正交变换保持距离，而一般可逆线性变换只保持更少的结构。
+取 <math>F=(0,0)</math>、<math>\ell:x=d</math>，其中 <math>d>0</math>。平方距离条件得到
+<math display="block">x^2+y^2=e^2(x-d)^2,\qquad (1-e^2)x^2+y^2+2e^2dx-e^2d^2=0.</math>
+若 <math>e<1</math>，两个平方项同号，配方得到椭圆；若 <math>e>1</math>，平方项异号，得到双曲线；若 <math>e=1</math>，<math>x^2</math> 项消失，留下抛物线。这个方程的完整矩阵行列式为 <math>-e^2d^2\ne0</math>，且焦点与准线之间的线段上存在满足比例的点，所以这里三种情形都确有实点而不退化。
-== 几何性质怎样进入模型 ==
+椭圆和双曲线的离心率都可写为 <math>e=c/a</math>。开头绳长十、焦点间距八的椭圆，离心率为 <math>4/5</math>；双曲线例子则为 <math>5/3</math>。它们不依赖统一放大的尺度。圆的离心率约定为零，是椭圆焦点重合的极限情形；若直接在有限准线条件里代入 <math>e=0</math>，只会得到焦点本身，因而圆应单独处理。
-抛物线的反射性质可以从切线方向与焦点方向的角平分关系推导出来；在几何光学中，平行于轴的光线经理想抛物线反射后通过焦点。真正的三维装置对应的是抛物面，还需假设镜面反射、入射方向和波长尺度合适，不能把二维图形的性质无条件套到所有声学或电磁场景。
-理想二体问题中，反平方中心力和相应的动力学初始条件导致圆锥曲线轨道。有限能量、角动量与离心率共同决定轨道类型；现实多体扰动、非球形引力源或阻力会使轨道偏离这一理想形式。本条目的几何分类本身不证明动力学结论，但为模型输出提供可识别的形状与参数。
+== 截面与历史 ==
+在三维空间中，平面截取双叶圆锥面可得到这三类曲线。平面经过锥顶时还会产生点或直线等退化截面；这与二次方程中出现的退化情形相对应。距离定义适合推出焦点和轴长，二次方程适合计算平移、旋转与拟合，截面则说明“圆锥曲线”名称的来源。
-在数据分析中，用二次方程拟合点云也不等于已经找到一条真实椭圆。噪声可能使拟合矩阵落入退化或没有实点的区域；若目标明确要求椭圆，就应在拟合约束和最后诊断中检查这些条件。[[矩阵]]负责整理二次型，[[最小二乘法]]负责选择参数，几何条件负责解释参数是否对应所需对象，三者各有职责。
+公元前四世纪的梅内克缪斯与早期圆锥曲线及倍立方研究有关；阿波罗尼奥斯在约公元前三世纪至前二世纪的《圆锥曲线论》中系统发展了截面理论。古典研究主要使用几何比例与构造，本文的坐标方程属于后来的解析表达。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Menaechmus/ MacTutor：Menaechmus]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius/ MacTutor：Apollonius]
-== 从一个焦点—准线方程直接读出三种类型 ==
-取焦点为原点，准线为 <math>x=d</math>，其中 <math>d>0</math>，并令离心率 <math>e>0</math>。距离比条件写成 <math>\sqrt{x^2+y^2}=e|x-d|</math>。双方非负，平方后得到
-<math display="block">(1-e^2)x^2+y^2+2e^2dx-e^2d^2=0.</math>
-当 <math>e<1</math> 时，两个平方项系数同号，配方会得到有实点的椭圆；当 <math>e>1</math> 时，平方项异号，得到双曲线；当 <math>e=1</math> 时，一个平方项消失，剩下 <math>y^2+2dx-d^2=0</math>，是抛物线。统一定义中的一个参数变化，具体转化成二次部分符号的变化，这就是距离几何与代数判别之间的桥梁。
-这个式子还能检查非退化性。其完整对称矩阵行列式为 <math>-e^2d^2</math>，在当前条件下不为零。焦点若落在准线上，相当于令 <math>d=0</math>，这一保障便消失，方程可能退化成点或直线。于是“焦点不在准线上”不只是画图方便，而是在代数上排除退化的条件。
-还要注意方程表示并不唯一。把全部系数同时乘一个非零常数，曲线点集不变；判别量的数值会乘上该常数的平方，但符号不变。完整矩阵行列式会乘其立方，因此它的符号不是这种任意缩放下都不变的类型标志，而是否为零保持不变。区分不变量的数值、符号与零性，能避免把一种检验用在错误的问题上。
-若把标准方程整体乘以负一，椭圆不会因此变成双曲线；决定形状的是方程所规定的点集以及二次型相对符号。类似地，交换横纵坐标只是转动主轴方向，不会把椭圆改成另一种拓扑类型。分类算法中的每一步最好解释保留了什么，这样即使式子很长，诊断过程仍然可以检查。
-在手算中，一个实用顺序是先找明显的线性因式或中心，再完成平方或消去交叉项，最后检查常数项与实解；矩阵判据用于组织和验证，不必成为机械替代全部几何理解的黑箱。对于更一般的高维二次曲面，这种从二次型出发的组织方式仍有用，但维数和特征值组合会带来更多类型。
-分类还应说明所采用的数域：本文只讨论实点；把坐标扩展到复数后，“没有实点”的方程可能仍是一条非退化复二次曲线。数域改变会改变“空集”这一判断，不能省略。
-== 历史：从倍立方问题到系统理论 ==
-公元前四世纪的梅内克缪斯与早期圆锥曲线研究及倍立方问题有关；相关知识主要经后世作者传递，不能把现代解析方程直接当成他使用的记号。约公元前三世纪至前二世纪的阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中系统发展了该理论。对椭圆、抛物线、双曲线名称的历史归属还存在文献细节，不宜把一整套对象、名称与全部性质都归给单一“发明者”。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Menaechmus/ MacTutor：Menaechmus]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius/ MacTutor：Apollonius]
-现代教材常从二元二次方程起步，古典研究却以截面、比例和几何构造为主。两者不是互相排斥的知识，而是同一对象的不同组织方式。把“谁研究过”“留下了什么著作”“现代统一表述何时形成”分开，才能理解理论是在多次改写问题语言后变得更容易使用。
-== English overview ==
-<div lang="en" class="math-english-summary">
-A conic section is obtained by intersecting a plane with a cone. Over the real Euclidean plane, the nondegenerate possibilities are ellipses, parabolas, and hyperbolas, with circles included among ellipses. Distance definitions describe the same curves through foci and directrices. Their parameters must satisfy inequalities that exclude collapsed or empty configurations.
-The ellipse equation follows from a fixed sum of focal distances. A parabola equates distance to a focus with perpendicular distance to a directrix, whereas a hyperbola fixes the absolute difference of two focal distances. Checking signs after squaring is part of establishing equivalence between a geometric definition and an algebraic equation.
-For a general quadratic equation, orthogonal changes of coordinates diagonalize the quadratic part, and translations locate a center or vertex. The sign of the familiar quadratic discriminant classifies the nondegenerate real cases only after degeneracy and the existence of real points have been checked. A negative discriminant by itself does not guarantee a real ellipse. Eccentricity compares focal and directrix distances, but a circle requires a limiting interpretation rather than direct substitution of zero into a finite-directrix formula. Applications depend on additional physical or statistical assumptions.
-</div>
-== 编者评注（AI 辅助） ==
-<div class="math-editorial-note">
-本站把圆锥曲线写成一个“同一对象、多种描述”的条目，而不只提供三张公式卡片。距离定义负责解释形状，配方与旋转负责识别方程，退化反例负责划定公式的适用范围。尤其需要保留“非退化且有实点”这一前提，否则熟练计算判别式仍可能得到错误分类。历史介绍和模型应用提供背景，但不能替代推导；这些内容的编排体现本站的教学判断。
-</div>
 == 参考资料与知识联系 ==
-* OpenStax，《Precalculus 2e》，[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-1-the-ellipse 10.1 The Ellipse]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-2-the-hyperbola 10.2 The Hyperbola]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-3-the-parabola 10.3 The Parabola]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-4-rotation-of-axes 10.4 Rotation of Axes]。用于核对标准参数与主轴变换；本文算例独立重算。
+* OpenStax，《Precalculus 2e》，[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-1-the-ellipse 10.1 The Ellipse]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-2-the-hyperbola 10.2 The Hyperbola]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-3-the-parabola 10.3 The Parabola]、[https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-4-rotation-of-axes 10.4 Rotation of Axes]。可参阅标准参数与主轴变换。
-* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Menaechmus/ Menaechmus]、[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius/ Apollonius]。用于历史背景与归属边界。
+* MacTutor，University of St Andrews：[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Menaechmus/ Menaechmus]、[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius/ Apollonius]。有关人物、作品与史料背景。
 * 前置：[[勾股定理]]、[[欧氏几何]]；后续：[[矩阵]]、[[最小二乘法]]、[[数学建模]]。
 [[分类:几何]]