概率：修订间差异

2026年9月20日 (日) 09:22的最新版本

概率（probability）用0到1之间的数描述事件在一个随机模型中发生的可能程度。0表示概率为零，1表示概率为一。怎样给事件分配数值，可以先从两枚骰子的点数看起。

两枚骰子为什么有 36 种等可能结果

假设两枚公平六面骰独立投掷，用有序对 $(i, j)$ 记录结果。第一枚的六种结果各对应第二枚的六种结果，因此有 $6 \times 6 = 36$ 个等可能的有序对。图中横、纵坐标分别记录两枚点数，每个格子概率都是 $1 / 36$ 。

六乘六的骰子结果网格，反对角线的六个格子标出两数之和为七的结果 — 有序对等可能，但它们的和不等可能；和为 7 有 6 种结果，和为 2 只有一种。

和为 7 的结果为 $(1, 6), (2, 5), \dots, (6, 1)$ ，故概率为 $6 / 36 = 1 / 6$ 。至少一枚为 6 的概率则为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{36} = \frac{11}{36} .$ 减去的 $1 / 36$ 是两枚都为 6 的情形。也可以取补事件： $1 - (5 / 6)^{2} = 11 / 36$ 。

结果、事件与随机变量

把刚才的36个有序对放在一起，便得到样本空间，通常记作 $Ω$ 。其中“和为7”的六个格子组成一个事件。投两枚骰子可以记录有序点数、点数和，也可以只记录“是否相等”。这三种记录方式的信息量不同，不能把它们当成同一个样本空间再套用相同的均匀分布。

设原始结果为 $ω = (i, j)$ ，定义随机变量 $S (ω) = i + j$ 。和为 7 的事件就是 ${ω : S (ω) = 7}$ 。从结果转为数值，是一个函数；这个函数通常把多个原始结果映射到同一个数。因此，原始结果等可能并不能推出函数值等可能。这一层区分也适用于“抽到哪件产品”和“抽到的产品是否合格”。

样本空间、事件与三条公理

在有限样本空间中，每个子集都可作为事件。概率函数 $P$ 为事件赋值。骰子模型中，一个事件包含多少格子，其概率就是格子数除以36；更一般的模型不要求结果等可能，但遵守以下规则。

每个事件的概率非负；整个样本空间的概率为1；若一列事件 $A_{1}, A_{2}, \dots$ 两两不重叠，则它们“至少一个发生”的概率是各自概率之和，即可列可加性： $P (⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = \sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) .$ 符号 $⋃$ 表示取并集。一般无限空间只对一族指定的事件使用这些规则；这族事件须包含全集，并对补集和可数并封闭。

从公理推导加法公式

空集 $\emptyset$ 表示不含任何结果的事件。由 $Ω = Ω \cup \emptyset$ 的不交并得到 $P (\emptyset) = 0$ 。再把全集分成 A 与补集，便有 $P (A) + P (A^{c}) = 1$ 。若 $A \subseteq B$ ，则 B 是 A 与 $B ∖ A$ 的不交并，非负性给出 $P (A) \leq P (B)$ 。所以概率具有单调性，不是额外记忆的一条经验规律。

用 $A \cup B$ 表示至少一个发生， $A \cap B$ 表示两者都发生。对于可能重叠的A、B，先拆成三个互斥区域：只属于 A、两者共同部分、只属于 B。把 $P (A) + P (B)$ 展开，交集被算了两次；并集只应算一次，因此 $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B) .$ 回到“至少一枚为6”：各枚为6的概率都是1/6，两枚都为6的格子被算两次，要减去1/36，正好得到11/36。这一推导说明公式为什么成立，也指出“直接相加”只适用于交集概率为零的情形。互斥当然能保证这一点，但连续模型中交集非空却概率为零也可能出现。

更一般地，将样本空间分割为有限个互斥事件 $B_{1}, \dots, B_{m}$ ，且每个 $P (B_{i}) > 0$ ，则 $P (A) = \sum_{i = 1}^{m} P (A \cap B_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} P (A ∣ B_{i}) P (B_{i}) .$ 第一步使用事件分割，第二步使用条件概率定义。这就是全概率公式，其实质是按来源分组加权；不能把组内概率直接做无权平均。相关定义与推导可参见 MIT 18.05 第 3 讲。

条件概率：已知信息改变了范围

先看一枚公平骰子。设 $A$ 为点数等于6， $B$ 为点数是偶数。未得到信息时，A占六个结果中的一个，概率为 $1 / 6$ ；已知B以后，候选只剩2、4、6，A占三个中的一个，条件概率为 $1 / 3$ 。

下图上排保留全部六个等可能结果，下排划去奇数。剩余的2、4、6重新分配总概率1，各占 $1 / 3$ ；金框始终指同一个结果6，改变的是作为分母的参照范围。

上排骰子一到六每个概率六分之一，下排已知偶数后只保留二四六且每个概率三分之一，结果六始终用金色框标出 — 条件概率在保留的样本范围内重新归一化。

一般地，保留B中的结果，给它们重新归一化。落在A中的保留部分是 $A \cap B$ ，所以当 $P (B) > 0$ 时，定义 $P (A ∣ B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} .$ 假设已知第一枚骰子为 6，此时两枚之和为 7 的概率是 $1 / 6$ ；如果已知至少一枚为 6，则剩余 11 个等可能结果中只有 $(1, 6)$ 、 $(6, 1)$ 的和为 7，概率变为 $2 / 11$ 。信息的措辞决定条件事件，不能省略。

独立与互斥是不同概念

事件独立意味着 $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ ；互斥意味着 $A \cap B = \emptyset$ 。两个概率都为正的互斥事件不独立，因为其中一个发生就排除了另一个。

刚才一枚骰子的两个事件不独立，因为 $P (A ∣ B) = 1 / 3$ 改变了原概率1/6。两枚独立骰子各自为偶数则不同：九个格子满足两者，概率 $9 / 36 = (1 / 2) (1 / 2)$ 。知道第一枚是偶数，没有改变第二枚为偶数的概率。

不放回抽样怎样改变第二步

袋中有 3 个红球、2 个蓝球，球除颜色外可区分且每次从剩余球中等可能抽取。连续抽两球且不放回。第一球为红的概率是 $3 / 5$ ；已知第一球红，第二球红的概率是 $2 / 4$ ，故两球都红的概率为 $(3 / 5) (2 / 4) = 3 / 10$ 。这里的乘法用的是条件概率，绝不是假设两次抽取独立。

恰好一个红球有两条互斥路径：先红后蓝与先蓝后红。因此其概率为 $(3 / 5) (2 / 4) + (2 / 5) (3 / 4) = 3 / 5$ 。两球都蓝的概率为 $(2 / 5) (1 / 4) = 1 / 10$ 。三类结果之和为 1，这是检查计算的一种方式。也可以用无序组合验证：红蓝组合有 $3 \times 2 = 6$ 个，所有两球组合有 $(\binom{5}{2}) = 10$ 个，答案仍为 $6 / 10$ 。

若改成每次抽完放回，第二次红球的比例保持 $3 / 5$ ，两红概率变为 $9 / 25$ 。只改变“放回”这一条规则，答案就不同。一个概率问题缺少抽样协议时，往往不是计算困难，而是尚未定义唯一的问题。

两两独立为什么还不够

对于三个或更多事件，逐对检查独立并不足以得到整体独立。考虑两枚独立公平硬币，四个有序结果等可能。令 $A$ 为第一枚正面， $B$ 为第二枚正面， $C$ 为两枚相同。三个事件概率均为 $1 / 2$ ；任意一对的交集都只有一个结果，概率为 $1 / 4$ ，所以它们两两独立。

但是三者同时发生只能是两枚都正面，概率仍为 $1 / 4$ ，并不等于 $(1 / 2)^{3} = 1 / 8$ 。事实上，知道前两个事件是否发生，就完全确定了第三个事件。相互独立要求每一个有限子组的交集概率都等于该组各概率的乘积，不能仅检验所有二元关系。这也是为什么多次试验的独立假设需要针对完整生成机制，而不是只观察两列数据似乎没有关系。

很多小机会合在一起，可以不再小

对任意有限个事件，反复使用加法公式并去掉非负的交集项，可得并集上界 $P (⋃_{i = 1}^{m} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{m} P (A_{i}) .$ 它不需要独立性，因而常用于给“至少出现一次异常”作保守估计。但右端可能超过 1，也可能明显高估；概率上界不是精确答案。事件之间高度重叠时，重复累计尤其明显。

生日问题展示了比较次数的作用。采用纯教学模型：一年固定365天，各人的生日彼此独立且均匀，不讨论闰日和实际季节差异。23人的生日全部不同的概率为 $\prod_{j = 0}^{22} \frac{365 - j}{365},$ 因为依次选人，第一个没有限制，第二个需要避开已有一天，第三个需避开已有两天，依此类推。取补事件后，至少一对生日相同的概率约为0.5073。这里没有要求每一对相同事件相互独立；直接把各对“不相同”的概率相乘会使用不成立的独立性。

23人之间有253对，远不只是23次机会。并集上界给出 $253 / 365 \approx 0.6932$ ，虽然不精确，却已提示总体事件不能按单对的 $1 / 365$ 理解。这个例子所揭示的是模型内的组合效应，不能当成真实人口生日分布的精确统计结论。

密度的高度与区间的概率

在区间 $[0, 2]$ 上均匀取一个实数 X，密度为 $f (x) = 1 / 2$ ，区间外为零。于是 $P (0.5 \leq X \leq 1.5) = \int_{0.5}^{1.5} (1 / 2) d x = 1 / 2$ 。区间越短，概率越小；单点的积分为零，但 X 总要取区间中的某个值。可列可加性只允许可数个互斥事件直接求和，不能把不可数多个零概率单点像有限求和一样合并。

密度甚至可以大于 1。例如在 $[0, 0.1]$ 均匀分布时，密度为 10，总面积仍为 1。若 X 带时间单位，密度就具有时间单位的倒数，而区间概率没有单位。把密度值误当概率，不仅数值会出错，量纲也对不上。

随机变量的分布函数 $F (x) = P (X \leq x)$ 同时适用于离散、连续和混合情形。它非递减，取值在 0 与 1 之间，且在正无穷趋于 1、负无穷趋于 0。离散分布中跳跃的大小等于该点概率；有密度的分布则通过积分积累概率。由此可见，“随机变量必须有概率密度”不是正确命题。

大数定律究竟保证什么

设 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 为独立同分布的 0–1 指示变量，成功概率为 p。频率为 ${\bar{X}}_{n} = n^{- 1} \sum_{i} X_{i}$ 。由期望的线性性及独立性给出的方差可加性，得到 $𝔼 [{\bar{X}}_{n}] = p$ 、 $Var ({\bar{X}}_{n}) = p (1 - p) / n$ 。

对任意 $ε > 0$ ，在事件 $| {\bar{X}}_{n} - p | \geq ε$ 上，平方偏差至少为 $ε^{2}$ 。将该事件内外分开取期望，就得到 $P (| {\bar{X}}_{n} - p | \geq ε) \leq \frac{p (1 - p)}{n ε^{2}} \leq \frac{1}{4 n ε^{2}} .$ 右端随 n 增大而趋于零，这给出了一个弱大数定律的直接证明，也给出了可核验但通常偏保守的误差界。它并不声称每条样本路径的误差逐步减小；也不声称出现连续五次失败后，第六次成功概率会被“补回来”。独立试验没有这种记账机制。

概率界与样本保证如何区别

前文的频率误差界可以转为有限样本的设计要求。若希望独立同分布的0–1试验中，频率偏离真实概率至少0.05的机会不超过0.01，使用不依赖未知成功率的保守上界，取 $n \geq 10000$ 即可。因为 $1 / (4 n \times 0.0 5^{2}) \leq 0.01$ 。这给出一个足够样本量，而非最小或最有效样本量。

该结论仍是概率性的：它允许小概率出现超过容限的误差，不能改写成“做满一万次就绝不偏差超过5%”。如果试验有共同环境导致的相关性，原方差计算还可能不再适用；如果抽样只覆盖某个偏离目标总体的群体，增加样本量可能只是更稳定地估计错误总体的概率。

概率模型与统计推断的分工也由此清楚：前者通常在已指定分布下求事件概率，后者还要用样本研究未知分布或参数，并说明不确定性。一个数值看起来精确，并不代表抽样与模型假设也被精确满足。

从分赌注问题到现代概率空间

17 世纪关于赌博公平分配的讨论推动了有限概率计算，1654 年 Pascal 与 Fermat 的通信是经常引用的节点；Huygens 在 1657 年出版概率论著，把机会与公平价值联系起来。这些事实可查 MacTutor 的概率术语史与 Huygens 传记。

1933 年 Kolmogorov 的专著把概率置于测度论的公理框架之中，统一了离散和连续模型所需的基本语言，见 Kolmogorov 传记。公理给出统一运算规则，具体分布仍由所研究的随机过程确定。

从概率走向分布模型

前面为事件分配概率；若把注意力集中在一个随机变量上，就得到它的概率分布。固定试验次数的成功计数可学习二项分布，等待首次成功可学习几何分布；稳定事件过程的次数与间隔分别连接泊松分布和指数分布。连续测量的例子可从均匀分布和正态分布开始。各篇都先明确模型条件，再推导公式和区间概率。

参考来源与延伸阅读

Jeremy Orloff、Jennifer French Kamrin，MIT 18.05：Conditional Probability, Independence and Bayes' Theorem。
集合 · 函数 · 统计推断：样本空间的语言、随机变量与由样本反推总体。
MIT OpenCourseWare，18.05 阅读材料：样本空间、条件概率与独立性。
组合数学 · 期望 · 贝叶斯定理

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-'''概率'''（probability）是对随机事件赋予数值的一套数学规则，用来描述在给定模型下事件发生的不确定性。事件的概率介于 0 与 1 之间。概率值来自对样本空间及其分布的建模，不能仅凭“可能发生”就认定各结果等可能。
+'''概率'''（probability）用0到1之间的数描述事件在一个随机模型中发生的可能程度。0表示概率为零，1表示概率为一。怎样给事件分配数值，可以先从两枚骰子的点数看起。
-== English overview ==
-<div lang="en" class="math-english-summary">
-Probability assigns numerical weights to events within an explicitly chosen model. A sample space describes possible outcomes, a collection of measurable events specifies which questions can be asked, and a probability measure satisfies non-negativity, normalization, and countable additivity. Equal likelihood is an additional assumption, not a consequence of listing a finite number of possibilities.
-This article develops probability from dice and sampling examples before introducing conditional probability and independence. The distinction between mutually exclusive events and independent events is essential: two events of positive probability cannot have both properties. Conditional probability changes the reference population, whereas a random variable transforms outcomes into numerical observations. Continuous models assign probabilities to intervals through integration; a density value is not itself a probability. We derive the addition rule, the law of total probability, and a simple concentration bound to show how the axioms support calculation. Historical discussion separates seventeenth-century problems of fair division from the measure-theoretic formulation established in the twentieth century. Applications require checking whether the chosen outcomes, independence assumptions, and parameter values describe the actual process.
-</div>
-== 样本空间、事件与三条公理 ==
-样本空间 <math>\Omega</math> 是所有可能结果的集合，事件是其中可赋予概率的子集。在一般概率论中，这些事件组成一个 σ 代数；有限样本空间通常取全部子集作为事件。
-概率函数 <math>P</math> 满足非负性、<math>P(\Omega)=1</math>，以及对两两互斥事件的可列可加性：
-<math display="block">P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).</math>
-由此可推出补事件公式 <math>P(A^c)=1-P(A)</math>，以及加法公式
-<math display="block">P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math>
-最后一项用于扣除重复计数的交集。
 == 两枚骰子为什么有 36 种等可能结果 ==
-假设两枚公平六面骰独立投掷，用有序对 <math>(i,j)</math> 记录结果。共有 <math>6\times6=36</math> 个等可能结果，而不是把和为 2 到 12 的 11 个数看成等可能。
+假设两枚公平六面骰独立投掷，用有序对 <math>(i,j)</math> 记录结果。第一枚的六种结果各对应第二枚的六种结果，因此有 <math>6\times6=36</math> 个等可能的有序对。图中横、纵坐标分别记录两枚点数，每个格子概率都是 <math>1/36</math>。
-[[File:Gezhi-probability-dice.svg|frame|center|alt=六乘六的骰子结果网格，反对角线的六个格子标出两数之和为七的结果|有序对等可能，但它们的和不等可能；和为 7 有 6 种结果，和为 2 只有一种。]]
+[[File:Gezhi-probability-dice-theme.svg|frame|center|alt=六乘六的骰子结果网格，反对角线的六个格子标出两数之和为七的结果|有序对等可能，但它们的和不等可能；和为 7 有 6 种结果，和为 2 只有一种。]]
 和为 7 的结果为 <math>(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)</math>，故概率为 <math>6/36=1/6</math>。至少一枚为 6 的概率则为
 <math display="block">\frac16+\frac16-\frac1{36}=\frac{11}{36}.</math>
 减去的 <math>1/36</math> 是两枚都为 6 的情形。也可以取补事件：<math>1-(5/6)^2=11/36</math>。
-== 条件概率：已知信息改变了范围 ==
+== 结果、事件与随机变量 ==
-当 <math>P(B)>0</math> 时，定义
+把刚才的36个有序对放在一起，便得到样本空间，通常记作 <math>\Omega</math>。其中“和为7”的六个格子组成一个事件。投两枚骰子可以记录有序点数、点数和，也可以只记录“是否相等”。这三种记录方式的信息量不同，不能把它们当成同一个样本空间再套用相同的均匀分布。
-<math display="block">P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.</math>
-假设已知第一枚骰子为 6，此时两枚之和为 7 的概率是 <math>1/6</math>；如果已知至少一枚为 6，则剩余 11 个等可能结果中只有 <math>(1,6)</math>、<math>(6,1)</math> 的和为 7，概率变为 <math>2/11</math>。信息的措辞决定条件事件，不能省略。
-== 独立与互斥是不同概念 ==
+设原始结果为 <math>\omega=(i,j)</math>，定义随机变量 <math>S(\omega)=i+j</math>。和为 7 的事件就是 <math>\{\omega:S(\omega)=7\}</math>。从结果转为数值，是一个[[函数]]；这个函数通常把多个原始结果映射到同一个数。因此，原始结果等可能并不能推出函数值等可能。这一层区分也适用于“抽到哪件产品”和“抽到的产品是否合格”。
-事件独立意味着 <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>；互斥意味着 <math>A\cap B=\varnothing</math>。两个概率都为正的互斥事件不独立，因为其中一个发生就排除了另一个。
-单枚骰子的“结果为偶数”与“结果为 6”并不独立；两枚独立骰子各自“为偶数”的事件则独立。独立性是模型条件，需要由过程或数据支持，不能把乘法当作默认规则。
+== 样本空间、事件与三条公理 ==
+在有限样本空间中，每个子集都可作为事件。概率函数 <math>P</math> 为事件赋值。骰子模型中，一个事件包含多少格子，其概率就是格子数除以36；更一般的模型不要求结果等可能，但遵守以下规则。
-== 概率、频率与概率为零 ==
+每个事件的概率非负；整个样本空间的概率为1；若一列事件 <math>A_1,A_2,\ldots</math> 两两不重叠，则它们“至少一个发生”的概率是各自概率之和，即可列可加性：
-重复独立且同分布的试验中，大数定律说明事件频率会以适当的概率意义接近其概率。它不保证短期结果均衡，也不意味着前面连续出现某结果后，下一次必须“补偿”。
+<math display="block">P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).</math>
+符号 <math>\bigcup</math> 表示取并集。一般无限空间只对一族指定的事件使用这些规则；这族事件须包含全集，并对补集和可数并封闭。
-连续分布还存在概率为零但并非空集的事件。例如在 <math>[0,1]</math> 均匀取数，恰好取到 <math>1/2</math> 的概率为零。连续模型使用区间概率与密度，不能把“每个点概率为零”理解为“没有任何值能出现”。
-== 把一次随机试验描述完整 ==
-“随机”并不是说事件没有原因，而是说当前描述没有把结果当作已经确定的已知量。建模的第一步是约定究竟记录什么。投两枚骰子可以记录有序点数、点数和，也可以只记录“是否相等”。这三种记录方式的信息量不同，不能把它们当成同一个样本空间再套用相同的均匀分布。
-设原始结果为 <math>\omega=(i,j)</math>，定义随机变量 <math>S(\omega)=i+j</math>。和为 7 的事件就是 <math>\{\omega:S(\omega)=7\}</math>。从结果转为数值，是一个[[函数]]；这个函数通常把多个原始结果映射到同一个数。因此，原始结果等可能并不能推出函数值等可能。这一层区分也适用于“抽到哪件产品”和“抽到的产品是否合格”。
-事件集合为什么还需要封闭性？如果能够询问 A 是否发生，也应能够询问 A 不发生、A 与 B 至少一个发生。σ 代数包含全集，对补集和可数并封闭，从而也对可数交封闭。在有限例子中直接取所有子集就足够；在连续空间中，这一限制保证积分和概率运算协调。入门阶段不必构造不可测集，但不能把一般概率论说成“对任意集合随便分配一个数”。
 == 从公理推导加法公式 ==
-先由 <math>\Omega=\Omega\cup\varnothing</math> 的不交并得到 <math>P(\varnothing)=0</math>。再把全集分成 A 与补集，便有 <math>P(A)+P(A^c)=1</math>。若 <math>A\subseteq B</math>，则 B 是 A 与 <math>B\setminus A</math> 的不交并，非负性给出 <math>P(A)\le P(B)</math>。所以概率具有单调性，不是额外记忆的一条经验规律。
+空集 <math>\varnothing</math> 表示不含任何结果的事件。由 <math>\Omega=\Omega\cup\varnothing</math> 的不交并得到 <math>P(\varnothing)=0</math>。再把全集分成 A 与补集，便有 <math>P(A)+P(A^c)=1</math>。若 <math>A\subseteq B</math>，则 B 是 A 与 <math>B\setminus A</math> 的不交并，非负性给出 <math>P(A)\le P(B)</math>。所以概率具有单调性，不是额外记忆的一条经验规律。
-对于可能重叠的 A、B，先拆成三个互斥区域：只属于 A、两者共同部分、只属于 B。把 <math>P(A)+P(B)</math> 展开，交集被算了两次；并集只应算一次，因而必须减去一个交集概率。这一推导说明公式为什么成立，也指出“直接相加”只适用于交集概率为零的情形。互斥当然能保证这一点，但连续模型中交集非空却概率为零也可能出现。
+用 <math>A\cup B</math> 表示至少一个发生，<math>A\cap B</math> 表示两者都发生。对于可能重叠的A、B，先拆成三个互斥区域：只属于 A、两者共同部分、只属于 B。把 <math>P(A)+P(B)</math> 展开，交集被算了两次；并集只应算一次，因此
+<math display="block">P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math>
+回到“至少一枚为6”：各枚为6的概率都是1/6，两枚都为6的格子被算两次，要减去1/36，正好得到11/36。这一推导说明公式为什么成立，也指出“直接相加”只适用于交集概率为零的情形。互斥当然能保证这一点，但连续模型中交集非空却概率为零也可能出现。
 更一般地，将样本空间分割为有限个互斥事件 <math>B_1,\ldots,B_m</math>，且每个 <math>P(B_i)>0</math>，则
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 第一步使用事件分割，第二步使用条件概率定义。这就是全概率公式，其实质是按来源分组加权；不能把组内概率直接做无权平均。相关定义与推导可参见 [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/resources/mit18_05_s22_class03-prep_pdf/ MIT 18.05 第 3 讲]。
-== 不放回抽样怎样改变第二步 ==
+== 条件概率：已知信息改变了范围 ==
-袋中有 3 个红球、2 个蓝球，球除颜色外可区分且每次从剩余球中等可能抽取。连续抽两球且不放回。第一球为红的概率是 <math>3/5</math>；已知第一球红，第二球红的概率是 <math>2/4</math>，故两球都红的概率为 <math>(3/5)(2/4)=3/10</math>。这里的乘法用的是条件概率，绝不是假设两次抽取独立。
+先看一枚公平骰子。设 <math>A</math> 为点数等于6，<math>B</math> 为点数是偶数。未得到信息时，A占六个结果中的一个，概率为 <math>1/6</math>；已知B以后，候选只剩2、4、6，A占三个中的一个，条件概率为 <math>1/3</math>。
+下图上排保留全部六个等可能结果，下排划去奇数。剩余的2、4、6重新分配总概率1，各占 <math>1/3</math>；金框始终指同一个结果6，改变的是作为分母的参照范围。
-恰好一个红球有两条互斥路径：先红后蓝与先蓝后红。因此其概率为 <math>(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5</math>。两球都蓝的概率为 <math>(2/5)(1/4)=1/10</math>。三类结果之和为 1，这是检查计算的一种方式。也可以用无序组合验证：红蓝组合有 <math>3\times2=6</math> 个，所有两球组合有 <math>\binom52=10</math> 个，答案仍为 <math>6/10</math>。
+[[File:Gezhi-analysis-probability-condition.svg|frame|center|alt=上排骰子一到六每个概率六分之一，下排已知偶数后只保留二四六且每个概率三分之一，结果六始终用金色框标出|条件概率在保留的样本范围内重新归一化。]]
-若改成每次抽完放回，第二次红球的比例保持 <math>3/5</math>，两红概率变为 <math>9/25</math>。只改变“放回”这一条规则，答案就不同。一个概率问题缺少抽样协议时，往往不是计算困难，而是尚未定义唯一的问题。
+一般地，保留B中的结果，给它们重新归一化。落在A中的保留部分是 <math>A\cap B</math>，所以当 <math>P(B)>0</math> 时，定义
+<math display="block">P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.</math>
+假设已知第一枚骰子为 6，此时两枚之和为 7 的概率是 <math>1/6</math>；如果已知至少一枚为 6，则剩余 11 个等可能结果中只有 <math>(1,6)</math>、<math>(6,1)</math> 的和为 7，概率变为 <math>2/11</math>。信息的措辞决定条件事件，不能省略。
-== 密度的高度与区间的概率 ==
+== 独立与互斥是不同概念 ==
-在区间 <math>[0,2]</math> 上均匀取一个实数 X，密度为 <math>f(x)=1/2</math>，区间外为零。于是 <math>P(0.5\le X\le1.5)=\int_{0.5}^{1.5}(1/2)\,dx=1/2</math>。区间越短，概率越小；单点的积分为零，但 X 总要取区间中的某个值。可列可加性只允许可数个互斥事件直接求和，不能把不可数多个零概率单点像有限求和一样合并。
+事件独立意味着 <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>；互斥意味着 <math>A\cap B=\varnothing</math>。两个概率都为正的互斥事件不独立，因为其中一个发生就排除了另一个。
-密度甚至可以大于 1。例如在 <math>[0,0.1]</math> 均匀分布时，密度为 10，总面积仍为 1。若 X 带时间单位，密度就具有时间单位的倒数，而区间概率没有单位。把密度值误当概率，不仅数值会出错，量纲也对不上。
+刚才一枚骰子的两个事件不独立，因为 <math>P(A\mid B)=1/3</math> 改变了原概率1/6。两枚独立骰子各自为偶数则不同：九个格子满足两者，概率 <math>9/36=(1/2)(1/2)</math>。知道第一枚是偶数，没有改变第二枚为偶数的概率。
-随机变量的分布函数 <math>F(x)=P(X\le x)</math> 同时适用于离散、连续和混合情形。它非递减，取值在 0 与 1 之间，且在正无穷趋于 1、负无穷趋于 0。离散分布中跳跃的大小等于该点概率；有密度的分布则通过积分积累概率。由此可见，“随机变量必须有概率密度”不是正确命题。
+== 不放回抽样怎样改变第二步 ==
+袋中有 3 个红球、2 个蓝球，球除颜色外可区分且每次从剩余球中等可能抽取。连续抽两球且不放回。第一球为红的概率是 <math>3/5</math>；已知第一球红，第二球红的概率是 <math>2/4</math>，故两球都红的概率为 <math>(3/5)(2/4)=3/10</math>。这里的乘法用的是条件概率，绝不是假设两次抽取独立。
-== 大数定律究竟保证什么 ==
+恰好一个红球有两条互斥路径：先红后蓝与先蓝后红。因此其概率为 <math>(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)=3/5</math>。两球都蓝的概率为 <math>(2/5)(1/4)=1/10</math>。三类结果之和为 1，这是检查计算的一种方式。也可以用无序组合验证：红蓝组合有 <math>3\times2=6</math> 个，所有两球组合有 <math>\binom52=10</math> 个，答案仍为 <math>6/10</math>。
-设 <math>X_1,\ldots,X_n</math> 为独立同分布的 0–1 指示变量，成功概率为 p。频率为 <math>\bar X_n=n^{-1}\sum_iX_i</math>。由[[期望]]的线性性及独立性给出的方差可加性，得到 <math>\mathbb E[\bar X_n]=p</math>、<math>\operatorname{Var}(\bar X_n)=p(1-p)/n</math>。
-对任意 <math>\varepsilon>0</math>，在事件 <math>|\bar X_n-p|\ge\varepsilon</math> 上，平方偏差至少为 <math>\varepsilon^2</math>。将该事件内外分开取期望，就得到
+若改成每次抽完放回，第二次红球的比例保持 <math>3/5</math>，两红概率变为 <math>9/25</math>。只改变“放回”这一条规则，答案就不同。一个概率问题缺少抽样协议时，往往不是计算困难，而是尚未定义唯一的问题。
-<math display="block">P(|\bar X_n-p|\ge\varepsilon)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\le\frac1{4n\varepsilon^2}.</math>
-右端随 n 增大而趋于零，这给出了一个弱大数定律的直接证明，也给出了可核验但通常偏保守的误差界。它并不声称每条样本路径的误差逐步减小；也不声称出现连续五次失败后，第六次成功概率会被“补回来”。独立试验没有这种记账机制。
 == 两两独立为什么还不够 ==
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 但是三者同时发生只能是两枚都正面，概率仍为 <math>1/4</math>，并不等于 <math>(1/2)^3=1/8</math>。事实上，知道前两个事件是否发生，就完全确定了第三个事件。相互独立要求每一个有限子组的交集概率都等于该组各概率的乘积，不能仅检验所有二元关系。这也是为什么多次试验的独立假设需要针对完整生成机制，而不是只观察两列数据似乎没有关系。
-相关性为零又是另一个层次的概念，涉及随机变量的协方差；它通常比独立性更弱。对称分布的变量与它的平方可以有零协方差，却存在明确的函数关系。独立、无相关和互斥各自有定义，不能只凭“不影响”“没关系”等日常措辞互换。
 == 很多小机会合在一起，可以不再小 ==
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 人之间有253对，远不只是23次机会。并集上界给出 <math>253/365\approx0.6932</math>，虽然不精确，却已提示总体事件不能按单对的 <math>1/365</math> 理解。这个例子所揭示的是模型内的组合效应，不能当成真实人口生日分布的精确统计结论。
+== 密度的高度与区间的概率 ==
+在区间 <math>[0,2]</math> 上均匀取一个实数 X，密度为 <math>f(x)=1/2</math>，区间外为零。于是 <math>P(0.5\le X\le1.5)=\int_{0.5}^{1.5}(1/2)\,dx=1/2</math>。区间越短，概率越小；单点的积分为零，但 X 总要取区间中的某个值。可列可加性只允许可数个互斥事件直接求和，不能把不可数多个零概率单点像有限求和一样合并。
+密度甚至可以大于 1。例如在 <math>[0,0.1]</math> 均匀分布时，密度为 10，总面积仍为 1。若 X 带时间单位，密度就具有时间单位的倒数，而区间概率没有单位。把密度值误当概率，不仅数值会出错，量纲也对不上。
+随机变量的分布函数 <math>F(x)=P(X\le x)</math> 同时适用于离散、连续和混合情形。它非递减，取值在 0 与 1 之间，且在正无穷趋于 1、负无穷趋于 0。离散分布中跳跃的大小等于该点概率；有密度的分布则通过积分积累概率。由此可见，“随机变量必须有概率密度”不是正确命题。
+== 大数定律究竟保证什么 ==
+设 <math>X_1,\ldots,X_n</math> 为独立同分布的 0–1 指示变量，成功概率为 p。频率为 <math>\bar X_n=n^{-1}\sum_iX_i</math>。由[[期望]]的线性性及独立性给出的方差可加性，得到 <math>\mathbb E[\bar X_n]=p</math>、<math>\operatorname{Var}(\bar X_n)=p(1-p)/n</math>。
+对任意 <math>\varepsilon>0</math>，在事件 <math>|\bar X_n-p|\ge\varepsilon</math> 上，平方偏差至少为 <math>\varepsilon^2</math>。将该事件内外分开取期望，就得到
+<math display="block">P(|\bar X_n-p|\ge\varepsilon)\le\frac{p(1-p)}{n\varepsilon^2}\le\frac1{4n\varepsilon^2}.</math>
+右端随 n 增大而趋于零，这给出了一个弱大数定律的直接证明，也给出了可核验但通常偏保守的误差界。它并不声称每条样本路径的误差逐步减小；也不声称出现连续五次失败后，第六次成功概率会被“补回来”。独立试验没有这种记账机制。
 == 概率界与样本保证如何区别 ==
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 概率模型与[[统计推断]]的分工也由此清楚：前者通常在已指定分布下求事件概率，后者还要用样本研究未知分布或参数，并说明不确定性。一个数值看起来精确，并不代表抽样与模型假设也被精确满足。
-条件信息的取得方式也是抽样协议的一部分。“随机选出的家庭有一个女孩”与“随机选一个孩子，发现她是女孩，再看其家庭”未必对应同一个条件事件。后一种程序更容易选中包含更多女孩的家庭，形成由抽取机会带来的权重。若只保留一句模糊的口头信息而省略选择过程，不同的合理模型可能产生不同答案。
-同样，检测结果只有在某类产品上被记录、缺失数据与结果本身有关、或人们只上报异常值，都可能改变所看到的样本分布。这不要求放弃概率计算，而是要求把记录和筛选机制也放进样本空间。判断一个答案是否合理，应同时检查事件定义、采样流程和算术，而不是只比较最后的分数。
 == 从分赌注问题到现代概率空间 ==
-概率思想没有一个脱离背景的单一发现时刻。17 世纪关于赌博公平分配的讨论推动了有限概率计算，1654 年 Pascal 与 Fermat 的通信是经常引用的节点；Huygens 在 1657 年出版概率论著，把机会与公平价值联系起来。这些事实可查 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/p/ MacTutor 的概率术语史] 与 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Huygens/ Huygens 传记]。更早的赌博实践不等于已经建立现代公理体系。
+世纪关于赌博公平分配的讨论推动了有限概率计算，1654 年 Pascal 与 Fermat 的通信是经常引用的节点；Huygens 在 1657 年出版概率论著，把机会与公平价值联系起来。这些事实可查 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Miller/mathword/p/ MacTutor 的概率术语史] 与 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Huygens/ Huygens 传记]。
-年 Kolmogorov 的专著把概率置于测度论的公理框架之中，统一了离散和连续模型所需的基本语言，见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kolmogorov/ Kolmogorov 传记]。这不意味着后来的一切随机理论都已完成，也不意味着公理本身决定了一个现实系统该赋什么概率；公理控制推理的一致性，具体分布仍需模型假设与证据。
+年 Kolmogorov 的专著把概率置于测度论的公理框架之中，统一了离散和连续模型所需的基本语言，见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kolmogorov/ Kolmogorov 传记]。公理给出统一运算规则，具体分布仍由所研究的随机过程确定。
-== 编者评注（AI 辅助） ==
+== 从概率走向分布模型 ==
-本条把“记录对象”和“抽样协议”放在公式前，是因为许多概率错误实际发生在模型建立阶段。建议先列出一个小规模样本空间，再检查哪些结果确实等可能，最后才计算。条件概率也应先说清信息如何获得。同一个数值答案若来自不合理的独立性或等可能假设，并不会因算术正确而成为可靠结论。
+前面为事件分配概率；若把注意力集中在一个随机变量上，就得到它的[[概率分布]]。固定试验次数的成功计数可学习[[二项分布]]，等待首次成功可学习[[几何分布]]；稳定事件过程的次数与间隔分别连接[[泊松分布]]和[[指数分布]]。连续测量的例子可从[[均匀分布]]和[[正态分布]]开始。各篇都先明确模型条件，再推导公式和区间概率。
 == 参考来源与延伸阅读 ==