Q-Q图

Q-Q 图（quantile–quantile plot）把两套分位数按相同的累计概率配成点，用来检查分布形状是否相近。一种常见用法是把样本分位数与指定理论分布的分位数比较：横轴是理论值，纵轴是样本排序后的值。若两者只差位置和平移伸缩，点会大致沿直线排列；局部弯曲或尾端偏离提示要回到数据与模型检查。

把概率位置与观测值配对

先看五个有序观测 $-2,-1,0,1,2$。这是合成教学数据。为避免把最小和最大值硬放在理论分布的无穷尾端，取概率位置 $p_i=(i-1/2)/5$，即 $0.1,0.3,0.5,0.7,0.9$。若比较对象是标准正态分布，理论横坐标取满足 $\Phi (q_i)=p_i$ 的 $q_i$： $$q_i\approx -1.282,-0.524,0,0.524,\mathrm{1.282.}$$ 这里 $\Phi$ 是标准正态累计分布函数。例如 $p_3=0.5$ 对应 $q_3=0$；它与样本第三个数 0 配成图上的 $(0,0)$。

五个橙点先确定理论横坐标；Q-Q 图再把排序后的五个观测依次放在这些横坐标上。

概率位置的选法不止这一种；改变它会轻微改变有限样本点的位置，尤其是两端。比较两幅 Q-Q 图时，先核对所用理论分布、参数和概率位置。标准正态仅是本例的参照，不能因为横轴写“正态”便认定观测来自正态总体。

一次极端观测怎样改变右尾

把前四个值保留，只将最大值从 2 改成 6，得到 B 组 $-2,-1,0,1,6$；原组记为 A。两组前四个样本分位数相同，于是它们在图中的前四个位置重合。第五个点却分别位于 $(1.282,2)$ 和 $(1.282,6)$。这种差别藏在直方图宽箱中可能不醒目，但在 Q-Q 图的右端直接显现。

虚线由样本中部四分位数确定。B 的最高观测在右端远高于它，提示这条记录或右尾模型需要检查；五个数不能据此判定总体分布。

图中的虚线不是“样本一定应落在上面”的标准正态密度。它通过理论分布的 25% 和 75% 分位点 $\pm 0.6745$，以及两组相同的样本四分位数 $-1,1$。因此斜率约为 $$\frac{1-(-1)}{0.6745-(-0.6745)}\approx 1.483,$$ 截距为零。在最高点的理论横坐标 $1.282$ 处，这条线给出的纵坐标约 $1.90$；A 的 2 很接近，B 的 6 则相距很远。直线斜率反映相对尺度，截距反映位置差，故判断“近似一条直线”不等于必须贴着 45° 的 $y=x$。

诊断信号与结论边界

若中部近直线而右尾持续上翘，可能是样本右尾比参照分布更长，也可能来自异常记录、混合了不同组或样本很小的偶然波动。下一步应检查原始值、采集过程，再看是否需要按条件分组或换参照分布。不能从五个点的一次偏离得出“通过”或“未通过”正态性检验的结论。

Q-Q 图也能比较两个样本：在相同的 $p_i$ 下，把两组的样本分位数分别作横纵坐标。若两组样本量不同，可用各自的分位数函数在共同概率位置求值，不能简单把不同长度的两列按行硬配。与经验分布函数图相比，Q-Q 图强调对应分位数之间的关系，ECDF 则更便于在具体阈值读取累计比例。

参考资料

• ggplot2：Q-Q 图与四分位参考线，理论分位数、样本分位数及参照线。
• NIST/SEMATECH：Quantile-Quantile Plot，两组分布的分位数比较。
• 相关：正态分布、经验分布函数图、直方图、残差分析。