直方图

直方图（histogram）把一批数值按区间分组，再用相邻矩形显示数据在数轴上的分布。它回答的是“数值集中在哪里、分散到什么程度、哪些范围比较少见”。横轴表示有大小与距离意义的数值；矩形的宽度是区间宽度。在不等宽分组中，面积与频数或频率对应，才能公平比较各组。

把二十个数变成一幅图

设我们记录了二十次排队的等候时间，单位为分钟。以下是为讲解构造的合成数据，已经从小到大排列，不代表实际场所的调查：

$1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 16, 18, 19.$

直接读这串数，可以知道最短为 1 分钟、最长为 19 分钟；要判断“多数人等了多久”，逐个数字比较就不如分组清楚。先按每 5 分钟一组，把观察范围划成四个箱子：

$[0, 5), [5, 10), [10, 15), [15, 20] .$

方括号表示包含端点，圆括号表示不包含端点。例如 5 归入第二组，10 归入第三组。最后一组特意包含右端点 20，使整个范围内的值都有归属。这个约定使各组不重叠，也没有遗漏；若把相邻两组都写成闭区间，恰好等于 5 的观察就可能被数两次。

时间区间（分钟）	归入本组的观察值	频数	频率
$[0, 5)$	1，2，2，3，4，4	6	$6 / 20 = 0.30$
$[5, 10)$	5，6，6，7，8，8，9	7	$7 / 20 = 0.35$
$[10, 15)$	10，11，12，14	4	$4 / 20 = 0.20$
$[15, 20]$	16，18，19	3	$3 / 20 = 0.15$

频数是某组包含的观察次数。两个 2 是两次观察，因此都要计数。频率是这一频数除以总观察次数；四组频数之和为 $6 + 7 + 4 + 3 = 20$ ，频率之和为 1。

上方点列显示二十次等候时间，重复值竖直堆叠；下方四个等宽矩形在零至五、五至十、十至十五、十五至二十分钟的频数分别为六、七、四、三 — 同一批观察从原始点列变成分组频数。上方每个点代表一次观察，下方矩形高度表示这一组有多少次。

读图时先沿横轴找到 5 到 10 分钟，再看对应矩形的高度 7：这表示七次等候落在这个范围内，并不表示有人恰好等了 7 分钟，也不表示平均等候时间为 7 分钟。把前两组相加，得到十三次等候少于 10 分钟，占 $13 / 20 = 65 %$ 。这项结论可以从原始数据、分组表和图中分别核对。

这里四个矩形一样宽，高度就足以比较各组人数。NIST 的统计手册把等宽分组、组内计数列为最常见的直方图构造方式；它还区分了“高度表示频率”和“总面积等于一”的两种归一化。NIST：Histogram

为什么不等组距要看面积

假如我们只关心前十分钟的细节，把后两组合并，分组变成 $[0, 5)$ 、 $[5, 10)$ 、 $[10, 20]$ ，频数依次为 6、7、7。后两组的人数一样，但第三组覆盖 10 分钟，第二组只覆盖 5 分钟。若都画成高 7 的矩形，第三块的面积就会是第二块的两倍；视觉上占据两倍面积，实际却没有两倍观察。

解决办法是把“每组多少次”换成“每单位宽度多少次”。第三组的频数密度为 $7 / 10 = 0.7$ 次／分钟，第二组为 $7 / 5 = 1.4$ 次／分钟。第三组宽一倍、高一半，两组面积就都等于 7。这里“次／分钟”描述的是等候时间数轴上的计数密度，不是队列每分钟接待多少人的到达率。

为便于比较不同样本量，也可以先除以总次数 20，把矩形面积归一化为频率。设第 $j$ 组的宽度为 $w_{j} > 0$ ，频数为 $n_{j}$ ，总次数为 $n > 0$ ，那么频率密度为

$d_{j} = \frac{n_{j} / n}{w_{j}} = \frac{n_{j}}{n w_{j}} .$

除以 $w_{j}$ 的理由就在矩形面积公式里。把第 $j$ 组的面积记为 $A_{j}$ ，则

$A_{j} = w_{j} d_{j} = w_{j} \frac{n_{j}}{n w_{j}} = \frac{n_{j}}{n} .$

把各组面积相加，宽度逐一消去：

$\sum_{j} w_{j} d_{j} = \frac{\sum_{j} n_{j}}{n} = 1.$

区间（分钟）	宽度	频数	频率	频率密度（每分钟）
$[0, 5)$	5	6	0.30	$0.30 / 5 = 0.06$
$[5, 10)$	5	7	0.35	$0.35 / 5 = 0.07$
$[10, 20]$	10	7	0.35	$0.35 / 10 = 0.035$

不等组距密度直方图，三个区间宽度为五、五、十，高度为零点零六、零点零七、零点零三五；后两组面积同为零点三五 — 宽度改变时，高度要相应调整。横轴为分钟，纵轴为频率密度，矩形内标出的是面积。

图中第三块虽然较矮，却与第二块有同样面积 0.35。若问题是“有多少比例落在 10 到 20 分钟”，读取面积；若问题是“哪一段单位时间范围内更密集”，比较高度。R 的官方直方图文档同样把不等宽分组默认画成总面积为一的密度图。R：hist 的 freq、breaks 与 Details

密度的数值可以超过 1。例如把十个观测值全部放在宽度为 0.2 的一个区间里，频率为 1，密度就是 $1 / 0.2 = 5$ ，面积仍为 $5 \times 0.2 = 1$ 。超过 1 的是每单位宽度的高度，并非概率超过 1。

组内位置为什么找不回来了

在第二幅图里，10 到 20 分钟这十分钟被一整块平顶矩形代替。它保存了“共七次”这一事实，却没有保存这七次分别发生在 10、11、12、14、16、18、19 分钟。只看这幅分组图，无法恢复七个原始值。

例如想知道少于 12 分钟的比例。原始数据给出十五次，因此实际样本比例为 $15 / 20 = 0.75$ 。若只留下不等宽直方图，把 10 到 12 分钟的部分面积加到前两组面积上，得到

$0.30 + 0.35 + (12 - 10) \times 0.035 = 0.72.$

两个答案不同，原因是部分矩形面积相当于把这组的频率均匀摊在 10 到 20 分钟之间；原始七个值并未均匀分散。完整箱子的面积精确给出这批数据的组频率，箱子内部的部分面积则是分组后的近似。 如果分析必须准确区分 12 分钟前后，应在 12 处设置组界，或直接使用原始数据。

直方图可以作为概率密度的估计图，但这一用法还需要明确数据如何采集，以及这些观察能否代表目标总体。分组作图本身并不要求数据相互独立；把图推广为总体分布的估计，才要考虑抽样机制、依赖关系和样本量等条件。二十次特定时段的等候，不会仅因画成直方图就代表全天、所有日期或所有顾客。

箱宽改变，哪些细节会出现或消失

仍然使用最初的二十个数，把箱宽依次改成 2、5、10 分钟，均从 0 开始分组，并统一用频率密度作纵轴。这样纵轴和面积含义相同，形状才可直接比较。

同一组二十个等候时间分别按二、五、十分钟宽度分箱的三幅密度直方图；细分箱显示局部起伏，宽分箱只保留前十分钟比后十分钟集中 — 三个面板共用数轴与密度尺度，箱宽分别为 2、5、10 分钟。改变的是分组，不是观测数据。

箱宽 2 时，十组频数为 $1, 3, 3, 3, 3, 2, 1, 1, 1, 2$ 。例如 $[2, 4)$ 包含 2、2、3，密度为 $3 / (20 \times 2) = 0.075$ 。箱宽 5 时，四组频数为 $6, 7, 4, 3$ ；箱宽 10 时，只剩 $13, 7$ ，高度为 $0.065, 0.035$ 。前两幅中 18 到 20 分钟附近的局部起伏，在最后一幅里被合并掉了。

细箱保留更多局部差异，也更容易把少数观测的偶然聚集显成峰；粗箱较平稳，却可能把两个不同的聚集区合成一个。单凭一幅图里有两个高柱，不能判断总体一定有两个峰。

箱子从哪里开始也会改变计数。对等宽为 5 的箱子，把组界改成 $1, 6, 11, 16, 21$ ，同一批数据的频数变成 $7, 7, 3, 3$ 。原来边界上的 5 和 10，现在各随新边界改变归组。比较两批数据时，应尽量用同一组边界与同一种纵轴；若一批有 20 次、一批有 200 次，比较频率密度比只比较人数更便于看形状，同时仍应标注各自样本量。

自动分箱与密度估计的研究

大样本很难手工试遍所有箱宽。1979 年，David W. Scott 在《Biometrika》发表 On optimal and data-based histograms，以密度估计的误差为准则研究箱宽选择，并提出利用样本量与标准差、以高斯分布为参照的数据驱动方法。这把“图分得多细”变成了可研究的统计估计问题。Scott，1979，66(3)：605–610

常用的 Scott 参考箱宽为 $h \approx 3.5 s n^{- 1 / 3}$ ，其中 $s$ 是样本标准差。另一个常见选择是 Freedman–Diaconis 箱宽 $h = 2 IQR n^{- 1 / 3}$ ，用箱线图中介绍的四分位距替代标准差作为分散尺度。R 提供这些自动选择方法；若数据全相同，或四分位距为零，直接代入会得到零箱宽，软件需要退回其他处理，使用时应查看最终的分组边界。R：Compute the Number of Classes for a Histogram

这些公式给出起点，而不是保证每批数据都有一种唯一正确的分箱。实际阅读时，可以像上图一样比较几个邻近宽度，保留原始数值或点图，并核对重要结论在合理的分箱变化下是否仍然成立。

与其他统计图的分工

条形图通常比较类别，例如不同交通方式的人数；类别之间的条宽不表示数值区间，换个排列顺序也不会改变类别本身。直方图的横轴是一条有度量意义的数轴，不能按柱高把各区间重新排序，否则“相邻”就失去了原来的含义。相邻矩形共用边界，是因为数值区间连续相接，并非因为每组一定都有观察。

箱线图用中位数、四分位数和须压缩分布，便于并排比较多组；直方图能进一步显示聚集、空隙和多峰，但更依赖分箱。想看等候时间随一天中的时刻怎样变化，应保留采集时序并使用折线图或散点图，因为本篇把数据排序、计数以后已经丢失了原来的发生顺序。更多选择见统计图。

参考资料

NIST/SEMATECH，e-Handbook of Statistical Methods，§1.3.3.14 Histogram：计数、归一化与分布形状。
R Core Team，hist：Histograms：分组边界、端点约定与不等宽密度。
R Core Team，nclass：Compute the Number of Classes for a Histogram：自动分组方法及退化数据的处理。
Scott, D. W.（1979），On optimal and data-based histograms，Biometrika，66(3)，605–610。
OpenStax，Introductory Statistics 2e，§2.2 Histograms, Frequency Polygons, and Time Series Graphs：等宽直方图与频率的入门讲解。