向量空间：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

向量空间（vector space）是一类允许相加和按数值倍乘的对象所组成的集合，这两种运算遵循通常的线性运算规律。平面中的位移是最直观的例子，多项式也可以是向量。基给出表示这些对象所需的独立方向，维数说明需要几个这样的方向。

下面从平面中的两个方向出发，先理解坐标为什么可以改变，再把同一套方法用于方程和多项式。除特别说明外，系数均取实数。

用两个方向表示一次位移

在平面上，从原点向右走三格、向上走一格，总位移写成 $v = (3, 1)$ 。通常选用向右一格的 $e_{1} = (1, 0)$ 和向上一格的 $e_{2} = (0, 1)$ ，于是 $v = 3 e_{1} + e_{2} .$ 这里的加法表示把两段位移接起来，数乘表示按比例伸缩；负系数还会把方向反转。

方向不一定要互相垂直。换用 $b_{1} = (1, 0)$ 和 $b_{2} = (1, 1)$ ，先沿斜方向走一次，已经完成向右、向上各一格；还差向右两格。所以 $v = 2 b_{1} + b_{2} .$

从原点出发的向量三一被分解成两倍的一零向量和一一向量 — 沿 b₁ 走两份，再沿 b₂ 走一份，终点仍是 (3,1)。虚线帮助把两段位移首尾相接。

图中终点没有改变，改变的是用来记录位移的两个方向。同一个向量在标准方向下的坐标为 $(3, 1)$ ，在新方向下为 $(2, 1)$ 。为避免混淆，可以写 $[v]_{B} = (2, 1)$ ，其中 $B = (b_{1}, b_{2})$ 指明采用的有序方向组。

这个方法是否能到达任意点 $(x, y)$ ？设所需份数为 $a, b$ ，逐个比较坐标： $a b_{1} + b b_{2} = (a + b, b) = (x, y) .$ 第二个坐标给出 $b = y$ ，第一个再给出 $a = x - y$ 。因此 $(x, y) = (x - y) b_{1} + y b_{2} .$ 无论目标在哪里，都能求出唯一的一对系数。这两个性质——能够表示全部对象，且表示唯一——正是基的意义。

张成、线性无关与基

把若干向量乘以系数再相加，得到的式子 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k}$ 称为线性组合。让系数自由变化，所有可能结果组成的集合称为这组向量的张成空间，记作 $span (v_{1}, \dots, v_{k})$ 。

一个非零方向的所有倍数构成过原点的直线；两个不共线的平面方向能张成整个平面。若选 $(1, 0)$ 和 $(2, 0)$ ，它们的组合总是 $(a + 2 b, 0)$ ，因此无论怎样选系数，都到不了纵坐标为一的点。

即使能够到达全部点，方向也可能多余。三个向量 $e_{1}, e_{2}, e_{1} + e_{2}$ 张成平面，但 $(1, 1)$ 既可以写成前两个向量之和，也可以直接取第三个。造成重复的原因是 $e_{1} + e_{2} - (e_{1} + e_{2}) = 0.$ 如果 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} = 0$ 只能在所有系数都为零时成立，这组向量就称为线性无关。如果存在不全为零的系数使其成立，就称为线性相关；把某个非零系数对应的项移到另一边并除以该系数，便能把一个向量用其余向量表示出来。

基是既张成整个空间、又线性无关的一组向量。张成保证每个向量有坐标，无关保证坐标唯一。后一结论可直接证明：若 $v = a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} = c_{1} b_{1} + \dots + c_{n} b_{n},$ 两式相减得到 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - c_{i}) b_{i} = 0$ 。由无关性，所有 $a_{i} - c_{i} = 0$ ，所以两套坐标相同。

从平面箭头到一般定义

前面的计算只使用加法和数乘，没有使用长度或夹角。这使我们可以把相同的规则应用到其他对象。

实向量空间由一个非空集合 $V$ 、向量加法和实数与向量的乘法组成。两种运算的结果都要留在 $V$ 中。向量加法满足交换律与结合律，有零向量 $0$ ，每个向量 $v$ 有相反向量 $- v$ ；对任意实数 $a, b$ 以及向量 $u, v$ ，数乘还满足 $a (u + v) = a u + a v, (a + b) v = a v + b v,$ $a (b v) = (a b) v, 1 v = v .$ 这些公理保证展开、合并同类项等线性计算可靠。例如，由 $0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$ ，两边减去 $0 v$ ，就得到零标量乘任何向量都等于零向量。

把实数换为复数，就得到复向量空间；更一般地，系数可以来自一个数域。本篇的几何例子使用实数。向量空间本身不规定长度和垂直，若要讨论这些概念，还需另行指定内积。前面的斜方向组仍是一组合法的基。

方程的解怎样成为一个空间

考虑三元齐次方程 $x + 2 y - z = 0.$ 满足方程的所有三元组组成集合 $W$ 。设 $u, v$ 都满足该方程，对任意实数 $a, b$ ，把它们逐坐标组合后，左端变为 $a (u_{1} + 2 u_{2} - u_{3}) + b (v_{1} + 2 v_{2} - v_{3}) = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0.$ 所以 $a u + b v$ 仍在 $W$ 中；零向量也在其中。 $W$ 因而是三维坐标空间的子空间。一般说，非空子集只要对所有线性组合封闭，就构成子空间；其余运算规律从原空间继承。

要找 $W$ 的基，先把能自由选择的量留下。令 $y = s, z = t$ ，由方程得 $x = - 2 s + t$ ，于是 $(x, y, z) = s (- 2, 1, 0) + t (1, 0, 1) .$ 这说明两向量张成 $W$ 。若这个组合为零，第二坐标给出 $s = 0$ ，第三坐标给出 $t = 0$ ，所以它们也线性无关。这是一组基，空间的维数为二。

例如 $(1, 1, 3) = 1 (- 2, 1, 0) + 3 (1, 0, 1)$ ，确实满足 $1 + 2 - 3 = 0$ 。三维坐标有三个数，但满足方程的点只需两个自由参数就能确定。

若把方程右端改为一，解集便不含零向量，不是子空间。不过取一个特解 $p = (1, 0, 0)$ ，所有解恰为 $p + W$ ：从任意解减去 $p$ ，右端就变成零。几何上，这是把过原点的平面整体平移；这种集合称为仿射平面。

直线y等于x经过原点并对倍乘封闭，平移后的y等于x加一含点零一却不含其两倍零二 — 用平面直线看同一差别：左图是子空间，右图是平移后的仿射直线。

左图中把向量加倍仍留在直线上。右图中 $p = (0, 1)$ 满足 $y = x + 1$ ，但 $2 p = (0, 2)$ 不满足；平移改变了集合与零向量的关系。

多项式也是向量

两个多项式能相加，每个多项式也能乘以实数，而且满足相同的线性运算规律。因此次数至多为二的实多项式（包括零多项式）构成向量空间 $P_{2} (ℝ)$ 。

每个对象都写成 $a + b x + c x^{2}$ ，所以 $1, x, x^{2}$ 张成这个空间。如果多项式 $a + b x + c x^{2}$ 恒等于零，它的三个系数必须全为零，因而这组向量无关。这就给出了三维空间的一组基。这里整个多项式是向量， $x$ 是自变量。

选择基可以配合问题的位置。若关心 $x = 1$ 附近的行为，使用 $1, x - 1, (x - 1)^{2}$ 往往更方便。以 $p (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ 为例，设 $p (x) = a + b (x - 1) + c (x - 1)^{2} .$ 把右端展开为 $(a - b + c) + (b - 2 c) x + c x^{2}$ ，逐项比较得到 $c = 1, b - 2 c = - 3, a - b + c = 2.$ 依次解出 $c = 1, b = - 1, a = 0$ 。因此 $p (x) = - (x - 1) + (x - 1)^{2} .$ 新坐标为 $(0, - 1, 1)$ 。从这种写法能立即读出 $p (1) = 0$ ；同一个对象换一种基，某些信息就变得更容易看见。

“次数恰好为二”的多项式不构成向量空间：例如 $x^{2}$ 和 $- x^{2}$ 相加得到零，离开了这个集合。定义中“至多”两个字正是为了包含运算可能产生的结果。

维数为什么不依赖选了哪一组基

有限维空间中，一组基所含的向量数称为维数。我们已经看到，平面可以换方向，但总需要两个独立方向。一般空间也有同样的事实：任何两组基长度相同。

证明的关键是比较一组无关向量 $u_{1}, \dots, u_{k}$ 和一组生成向量 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 。把 $u_{1}$ 展开为生成向量的组合，它非零，因此至少一个系数非零。假设第一个系数非零，就能从该式解出 $v_{1}$ ，用 $u_{1}$ 替换 $v_{1}$ ，新的列表仍张成整个空间。

再展开 $u_{2}$ 。它不可能只用 $u_{1}$ 表示，否则原来的无关性被破坏。因此至少有一个尚未替换的 $v_{j}$ 具有非零系数，可以解出并替换它。重复这个过程，每加入一个 $u_{i}$ 就使用一个不同的位置，所以 $k \leq m$ 。

若两组都是基，交换它们的角色又得到相反的不等式，故长度相等。这个论证还说明：一组生成向量可以删去多余项得到基，一组无关向量可以不断补入新方向，直到成为基。

维数数的是独立参数，不是元素个数。直线上有无限多个点，却只需一个实数参数；只含零向量的空间不需要任何基向量，维数为零。所有多项式组成的空间则是无限维：任取有限组多项式，它们的次数有一个上界，线性组合不能产生更高次数的项，所以有限组不可能张成全部多项式。

系数范围也会影响维数。例如复数在实数系数下需要 $1, i$ 两个方向；在复数系数下，一个向量 $1$ 就足够。

从向量空间到矩阵

保持线性组合的函数称为线性映射，即 $T (a u + b v) = a T (u) + b T (v)$ 。以求导为例， $T (a + b x + c x^{2}) = b + 2 c x .$ 在输入基 $(1, x, x^{2})$ 和输出基 $(1, x)$ 下，三个基向量分别被送到 $0, 1, 2 x$ ，坐标依次为 $(0, 0), (1, 0), (0, 2)$ 。把它们排成列，得到矩阵 $[T] = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}), [T] (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 2 c \end{matrix}) .$ 这说明为什么矩阵的列是基向量的输出。选定基以后，抽象的线性映射便能化成明确的数表运算；不同的基会给出不同的矩阵表示。

历史

Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究不限于三维几何的代数量，使独立性、维数和线性组合能够放在更一般的背景下理解。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义。相关原著和概念演变见 MacTutor 的线性空间史。这条发展路线解释了今天为什么既把箭头称为向量，也把多项式和函数称为向量：它们共享的是运算规律。

参考资料与后续阅读

MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：向量空间、基、维数和线性映射。
Gilbert Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节：基本子空间及其维数。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract linear spaces：Grassmann 与 Peano 的历史贡献。
前置可读集合、函数；继续阅读矩阵、线性代数和群。

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-向量空间是在一个数域上定义了向量加法和标量乘法，并满足相应运算公理的集合。平面箭头是直观例子，但向量也可以是多项式、函数、数列或矩阵；关键在于运算结构，而非外观。
+'''向量空间'''（vector space）是一类允许相加和按数值倍乘的对象所组成的集合，这两种运算遵循通常的线性运算规律。平面中的位移是最直观的例子，多项式也可以是向量。'''基'''给出表示这些对象所需的独立方向，'''维数'''说明需要几个这样的方向。
-== 向量可以相加，也可以按比例缩放 ==
+下面从平面中的两个方向出发，先理解坐标为什么可以改变，再把同一套方法用于方程和多项式。除特别说明外，系数均取实数。
-以实数域 <math>\mathbb R</math> 为例，空间 <math>V</math> 中任意 <math>u,v,w</math> 及实数 <math>a,b</math>，加法满足交换律、结合律，存在零向量和每个向量的加法逆元；数乘满足
-<math display="block">a(u+v)=au+av,\quad(a+b)v=av+bv,\quad a(bv)=(ab)v,\quad1v=v.</math>
-加法与数乘的结果必须仍属于 <math>V</math>，称为封闭性。数域是定义的一部分：同一个集合在不同数域上可能有不同维数，例如复数作为复向量空间是一维，作为实向量空间是二维。
-== 用少数向量表示所有向量 ==
+== 用两个方向表示一次位移 ==
-表达式 <math>a_1v_1+\cdots+a_nv_n</math> 称为线性组合。这些组合形成的集合是 <math>v_1,\ldots,v_n</math> 的张成空间。
+在平面上，从原点向右走三格、向上走一格，总位移写成 <math>v=(3,1)</math>。通常选用向右一格的 <math>e_1=(1,0)</math> 和向上一格的 <math>e_2=(0,1)</math>，于是
+<math display="block">v=3e_1+e_2.</math>
+这里的加法表示把两段位移接起来，数乘表示按比例伸缩；负系数还会把方向反转。
-若只有系数全为零时才能使 <math>a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0</math>，就称这组向量线性无关。既线性无关又张成整个空间的一组向量称为基；有限维空间任意一组基的向量个数相同，称为维数。
+方向不一定要互相垂直。换用 <math>b_1=(1,0)</math> 和 <math>b_2=(1,1)</math>，先沿斜方向走一次，已经完成向右、向上各一格；还差向右两格。所以
+<math display="block">v=2b_1+b_2.</math>
+[[File:Gezhi-vector-basis-theme.svg|frame|center|alt=从原点出发的向量三一被分解成两倍的一零向量和一一向量|沿 b₁ 走两份，再沿 b₂ 走一份，终点仍是 (3,1)。虚线帮助把两段位移首尾相接。]]
-[[File:Gezhi-vector-basis.svg|frame|center|alt=平面向量v由两倍向量b1加向量b2组成，虚线构成平行四边形|基决定坐标：(3,1) 在标准基下的坐标是 (3,1)，在 b₁=(1,0)、b₂=(1,1) 下的坐标是 (2,1)。]]
+图中终点没有改变，改变的是用来记录位移的两个方向。同一个向量在标准方向下的坐标为 <math>(3,1)</math>，在新方向下为 <math>(2,1)</math>。为避免混淆，可以写 <math>[v]_B=(2,1)</math>，其中 <math>B=(b_1,b_2)</math> 指明采用的有序方向组。
-取 <math>b_1=(1,0)</math>、<math>b_2=(1,1)</math>。因为
-<math display="block">2b_1+b_2=(3,1),</math>
-向量 <math>(3,1)</math> 在该基下的坐标是 <math>(2,1)</math>。坐标变了，向量本身没有变。基不要求互相垂直或长度为 1，正交归一基只是特别方便的一类基。
-== 子空间与不通过原点的直线 ==
+这个方法是否能到达任意点 <math>(x,y)</math>？设所需份数为 <math>a,b</math>，逐个比较坐标：
-向量空间的子集若包含零向量，并对向量加法、数乘封闭，就构成子空间。例如
+<math display="block">ab_1+bb_2=(a+b,b)=(x,y).</math>
-<math display="block">W=\{(x,y)\in\mathbb R^2:y=2x\}</math>
+第二个坐标给出 <math>b=y</math>，第一个再给出 <math>a=x-y</math>。因此
-由 <math>(1,2)</math> 张成，是一维子空间。
+<math display="block">(x,y)=(x-y)b_1+yb_2.</math>
+无论目标在哪里，都能求出唯一的一对系数。这两个性质——能够表示全部对象，且表示唯一——正是基的意义。
-直线 <math>y=2x+1</math> 不包含零向量，因此不是子空间，而是仿射子空间。第一象限即使包括边界，也不对负数的数乘封闭。这些例子说明，视觉上“平直”不足以保证是向量子空间。
+== 张成、线性无关与基 ==
+把若干向量乘以系数再相加，得到的式子
+<math display="block">a_1v_1+\cdots+a_kv_k</math>
+称为'''线性组合'''。让系数自由变化，所有可能结果组成的集合称为这组向量的'''张成空间'''，记作 <math>\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)</math>。
+一个非零方向的所有倍数构成过原点的直线；两个不共线的平面方向能张成整个平面。若选 <math>(1,0)</math> 和 <math>(2,0)</math>，它们的组合总是 <math>(a+2b,0)</math>，因此无论怎样选系数，都到不了纵坐标为一的点。
+即使能够到达全部点，方向也可能多余。三个向量 <math>e_1,e_2,e_1+e_2</math> 张成平面，但 <math>(1,1)</math> 既可以写成前两个向量之和，也可以直接取第三个。造成重复的原因是
+<math display="block">e_1+e_2-(e_1+e_2)=0.</math>
+如果 <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0</math> 只能在所有系数都为零时成立，这组向量就称为'''线性无关'''。如果存在不全为零的系数使其成立，就称为线性相关；把某个非零系数对应的项移到另一边并除以该系数，便能把一个向量用其余向量表示出来。
+'''基'''是既张成整个空间、又线性无关的一组向量。张成保证每个向量有坐标，无关保证坐标唯一。后一结论可直接证明：若
+<math display="block">v=a_1b_1+\cdots+a_nb_n=c_1b_1+\cdots+c_nb_n,</math>
+两式相减得到 <math>\sum_{i=1}^{n}(a_i-c_i)b_i=0</math>。由无关性，所有 <math>a_i-c_i=0</math>，所以两套坐标相同。
+== 从平面箭头到一般定义 ==
+前面的计算只使用加法和数乘，没有使用长度或夹角。这使我们可以把相同的规则应用到其他对象。
+实向量空间由一个非空集合 <math>V</math>、向量加法和实数与向量的乘法组成。两种运算的结果都要留在 <math>V</math> 中。向量加法满足交换律与结合律，有零向量 <math>0</math>，每个向量 <math>v</math> 有相反向量 <math>-v</math>；对任意实数 <math>a,b</math> 以及向量 <math>u,v</math>，数乘还满足
+<math display="block">a(u+v)=au+av,\qquad (a+b)v=av+bv,</math>
+<math display="block">a(bv)=(ab)v,\qquad 1v=v.</math>
+这些公理保证展开、合并同类项等线性计算可靠。例如，由 <math>0v=(0+0)v=0v+0v</math>，两边减去 <math>0v</math>，就得到零标量乘任何向量都等于零向量。
+把实数换为复数，就得到复向量空间；更一般地，系数可以来自一个'''数域'''。本篇的几何例子使用实数。向量空间本身不规定长度和垂直，若要讨论这些概念，还需另行指定内积。前面的斜方向组仍是一组合法的基。
+== 方程的解怎样成为一个空间 ==
+考虑三元齐次方程
+<math display="block">x+2y-z=0.</math>
+满足方程的所有三元组组成集合 <math>W</math>。设 <math>u,v</math> 都满足该方程，对任意实数 <math>a,b</math>，把它们逐坐标组合后，左端变为
+<math display="block">a(u_1+2u_2-u_3)+b(v_1+2v_2-v_3)=a\cdot0+b\cdot0=0.</math>
+所以 <math>au+bv</math> 仍在 <math>W</math> 中；零向量也在其中。<math>W</math> 因而是三维坐标空间的'''子空间'''。一般说，非空子集只要对所有线性组合封闭，就构成子空间；其余运算规律从原空间继承。
+要找 <math>W</math> 的基，先把能自由选择的量留下。令 <math>y=s,z=t</math>，由方程得 <math>x=-2s+t</math>，于是
+<math display="block">(x,y,z)=s(-2,1,0)+t(1,0,1).</math>
+这说明两向量张成 <math>W</math>。若这个组合为零，第二坐标给出 <math>s=0</math>，第三坐标给出 <math>t=0</math>，所以它们也线性无关。这是一组基，空间的维数为二。
+例如 <math>(1,1,3)=1(-2,1,0)+3(1,0,1)</math>，确实满足 <math>1+2-3=0</math>。三维坐标有三个数，但满足方程的点只需两个自由参数就能确定。
+若把方程右端改为一，解集便不含零向量，不是子空间。不过取一个特解 <math>p=(1,0,0)</math>，所有解恰为 <math>p+W</math>：从任意解减去 <math>p</math>，右端就变成零。几何上，这是把过原点的平面整体平移；这种集合称为仿射平面。
+[[File:Gezhi-teaching-subspace-shift.svg|frame|center|alt=直线y等于x经过原点并对倍乘封闭，平移后的y等于x加一含点零一却不含其两倍零二|用平面直线看同一差别：左图是子空间，右图是平移后的仿射直线。]]
+左图中把向量加倍仍留在直线上。右图中 <math>p=(0,1)</math> 满足 <math>y=x+1</math>，但 <math>2p=(0,2)</math> 不满足；平移改变了集合与零向量的关系。
 == 多项式也是向量 ==
-次数至多为 2 的实系数多项式构成空间 <math>P_2</math>，一组基为 <math>1,x,x^2</math>。多项式 <math>2-3x+x^2</math> 的坐标是 <math>(2,-3,1)</math>，所以 <math>\dim P_2=3</math>。
+两个多项式能相加，每个多项式也能乘以实数，而且满足相同的线性运算规律。因此次数至多为二的实多项式（包括零多项式）构成向量空间 <math>P_2(\mathbb R)</math>。
+每个对象都写成 <math>a+bx+cx^2</math>，所以 <math>1,x,x^2</math> 张成这个空间。如果多项式 <math>a+bx+cx^2</math> 恒等于零，它的三个系数必须全为零，因而这组向量无关。这就给出了三维空间的一组基。这里整个多项式是向量，<math>x</math> 是自变量。
+选择基可以配合问题的位置。若关心 <math>x=1</math> 附近的行为，使用 <math>1,x-1,(x-1)^2</math> 往往更方便。以 <math>p(x)=2-3x+x^2</math> 为例，设
+<math display="block">p(x)=a+b(x-1)+c(x-1)^2.</math>
+把右端展开为 <math>(a-b+c)+(b-2c)x+cx^2</math>，逐项比较得到
+<math display="block">c=1,\qquad b-2c=-3,\qquad a-b+c=2.</math>
+依次解出 <math>c=1,b=-1,a=0</math>。因此
+<math display="block">p(x)=-(x-1)+(x-1)^2.</math>
+新坐标为 <math>(0,-1,1)</math>。从这种写法能立即读出 <math>p(1)=0</math>；同一个对象换一种基，某些信息就变得更容易看见。
+“次数恰好为二”的多项式不构成向量空间：例如 <math>x^2</math> 和 <math>-x^2</math> 相加得到零，离开了这个集合。定义中“至多”两个字正是为了包含运算可能产生的结果。
+== 维数为什么不依赖选了哪一组基 ==
+有限维空间中，一组基所含的向量数称为'''维数'''。我们已经看到，平面可以换方向，但总需要两个独立方向。一般空间也有同样的事实：任何两组基长度相同。
+证明的关键是比较一组无关向量 <math>u_1,\ldots,u_k</math> 和一组生成向量 <math>v_1,\ldots,v_m</math>。把 <math>u_1</math> 展开为生成向量的组合，它非零，因此至少一个系数非零。假设第一个系数非零，就能从该式解出 <math>v_1</math>，用 <math>u_1</math> 替换 <math>v_1</math>，新的列表仍张成整个空间。
+再展开 <math>u_2</math>。它不可能只用 <math>u_1</math> 表示，否则原来的无关性被破坏。因此至少有一个尚未替换的 <math>v_j</math> 具有非零系数，可以解出并替换它。重复这个过程，每加入一个 <math>u_i</math> 就使用一个不同的位置，所以 <math>k\le m</math>。
+若两组都是基，交换它们的角色又得到相反的不等式，故长度相等。这个论证还说明：一组生成向量可以删去多余项得到基，一组无关向量可以不断补入新方向，直到成为基。
+维数数的是独立参数，不是元素个数。直线上有无限多个点，却只需一个实数参数；只含零向量的空间不需要任何基向量，维数为零。所有多项式组成的空间则是无限维：任取有限组多项式，它们的次数有一个上界，线性组合不能产生更高次数的项，所以有限组不可能张成全部多项式。
+系数范围也会影响维数。例如复数在实数系数下需要 <math>1,i</math> 两个方向；在复数系数下，一个向量 <math>1</math> 就足够。
-注意“次数恰好为 2”的多项式集合不是向量空间：它不包含零多项式，两个二次多项式相加还可能消去二次项。所有多项式的空间则是无限维的，不能用固定有限个多项式表示一切多项式。
+== 从向量空间到矩阵 ==
+保持线性组合的[[函数]]称为线性映射，即 <math>T(au+bv)=aT(u)+bT(v)</math>。以求导为例，
+<math display="block">T(a+bx+cx^2)=b+2cx.</math>
+在输入基 <math>(1,x,x^2)</math> 和输出基 <math>(1,x)</math> 下，三个基向量分别被送到 <math>0,1,2x</math>，坐标依次为 <math>(0,0),(1,0),(0,2)</math>。把它们排成列，得到矩阵
+<math display="block">[T]=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad [T]\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\2c\end{pmatrix}.</math>
+这说明为什么矩阵的列是基向量的输出。选定基以后，抽象的线性映射便能化成明确的数表运算；不同的基会给出不同的矩阵表示。
-== 结构还可以继续增加 ==
+== 历史 ==
-向量空间本身只有加法和数乘，并未自动规定长度、角度或正交。加入内积后，才能自然定义这些几何概念。[[线性代数]]研究保持线性组合的映射；选择定义域和值域的基后，这些映射就可以写成[[矩阵]]。
+Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究不限于三维几何的代数量，使独立性、维数和线性组合能够放在更一般的背景下理解。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义。相关原著和概念演变见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces/ MacTutor 的线性空间史]。这条发展路线解释了今天为什么既把箭头称为向量，也把多项式和函数称为向量：它们共享的是运算规律。
-== 延伸阅读 ==
+== 参考资料与后续阅读 ==
-* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：向量空间、基、维数与正交性。
+* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：向量空间、基、维数和线性映射。
-* [[矩阵]] · [[线性代数]] · [[群]]
+* [https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila5/linearalgebra5_3-5.pdf Gilbert Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节]：基本子空间及其维数。
+* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces/ J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract linear spaces]：Grassmann 与 Peano 的历史贡献。
+* 前置可读[[集合]]、[[函数]]；继续阅读[[矩阵]]、[[线性代数]]和[[群]]。
 [[分类:代数]]