向量空间：修订间差异

2026年9月20日 (日) 07:16的最新版本

向量空间（vector space）是一类允许相加和按数值倍乘的对象所组成的集合，这两种运算遵循通常的线性运算规律。平面中的位移是最直观的例子，多项式也可以是向量。基给出表示这些对象所需的独立方向，维数说明需要几个这样的方向。

下面从平面中的两个方向出发，先理解坐标为什么可以改变，再把同一套方法用于方程和多项式。除特别说明外，系数均取实数。

用两个方向表示一次位移

在平面上，从原点向右走三格、向上走一格，总位移写成 $v = (3, 1)$ 。通常选用向右一格的 $e_{1} = (1, 0)$ 和向上一格的 $e_{2} = (0, 1)$ ，于是 $v = 3 e_{1} + e_{2} .$ 这里的加法表示把两段位移接起来，数乘表示按比例伸缩；负系数还会把方向反转。

方向不一定要互相垂直。换用 $b_{1} = (1, 0)$ 和 $b_{2} = (1, 1)$ ，先沿斜方向走一次，已经完成向右、向上各一格；还差向右两格。所以 $v = 2 b_{1} + b_{2} .$

从原点出发的向量三一被分解成两倍的一零向量和一一向量 — 沿 b₁ 走两份，再沿 b₂ 走一份，终点仍是 (3,1)。虚线帮助把两段位移首尾相接。

图中终点没有改变，改变的是用来记录位移的两个方向。同一个向量在标准方向下的坐标为 $(3, 1)$ ，在新方向下为 $(2, 1)$ 。为避免混淆，可以写 $[v]_{B} = (2, 1)$ ，其中 $B = (b_{1}, b_{2})$ 指明采用的有序方向组。

这个方法是否能到达任意点 $(x, y)$ ？设所需份数为 $a, b$ ，逐个比较坐标： $a b_{1} + b b_{2} = (a + b, b) = (x, y) .$ 第二个坐标给出 $b = y$ ，第一个再给出 $a = x - y$ 。因此 $(x, y) = (x - y) b_{1} + y b_{2} .$ 无论目标在哪里，都能求出唯一的一对系数。这两个性质——能够表示全部对象，且表示唯一——正是基的意义。

张成、线性无关与基

把若干向量乘以系数再相加，得到的式子 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k}$ 称为线性组合。让系数自由变化，所有可能结果组成的集合称为这组向量的张成空间，记作 $span (v_{1}, \dots, v_{k})$ 。

一个非零方向的所有倍数构成过原点的直线；两个不共线的平面方向能张成整个平面。若选 $(1, 0)$ 和 $(2, 0)$ ，它们的组合总是 $(a + 2 b, 0)$ ，因此无论怎样选系数，都到不了纵坐标为一的点。

即使能够到达全部点，方向也可能多余。三个向量 $e_{1}, e_{2}, e_{1} + e_{2}$ 张成平面，但 $(1, 1)$ 既可以写成前两个向量之和，也可以直接取第三个。造成重复的原因是 $e_{1} + e_{2} - (e_{1} + e_{2}) = 0.$ 如果 $a_{1} v_{1} + \dots + a_{k} v_{k} = 0$ 只能在所有系数都为零时成立，这组向量就称为线性无关。如果存在不全为零的系数使其成立，就称为线性相关；把某个非零系数对应的项移到另一边并除以该系数，便能把一个向量用其余向量表示出来。

基是既张成整个空间、又线性无关的一组向量。张成保证每个向量有坐标，无关保证坐标唯一。后一结论可直接证明：若 $v = a_{1} b_{1} + \dots + a_{n} b_{n} = c_{1} b_{1} + \dots + c_{n} b_{n},$ 两式相减得到 $\sum_{i = 1}^{n} (a_{i} - c_{i}) b_{i} = 0$ 。由无关性，所有 $a_{i} - c_{i} = 0$ ，所以两套坐标相同。

从平面箭头到一般定义

前面的计算只使用加法和数乘，没有使用长度或夹角。这使我们可以把相同的规则应用到其他对象。

实向量空间由一个非空集合 $V$ 、向量加法和实数与向量的乘法组成。两种运算的结果都要留在 $V$ 中。向量加法满足交换律与结合律，有零向量 $0$ ，每个向量 $v$ 有相反向量 $- v$ ；对任意实数 $a, b$ 以及向量 $u, v$ ，数乘还满足 $a (u + v) = a u + a v, (a + b) v = a v + b v,$ $a (b v) = (a b) v, 1 v = v .$ 这些公理保证展开、合并同类项等线性计算可靠。例如，由 $0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v$ ，两边减去 $0 v$ ，就得到零标量乘任何向量都等于零向量。

把实数换为复数，就得到复向量空间；更一般地，系数可以来自一个数域。本篇的几何例子使用实数。向量空间本身不规定长度和垂直，若要讨论这些概念，还需另行指定内积。前面的斜方向组仍是一组合法的基。

方程的解怎样成为一个空间

考虑三元齐次方程 $x + 2 y - z = 0.$ 满足方程的所有三元组组成集合 $W$ 。设 $u, v$ 都满足该方程，对任意实数 $a, b$ ，把它们逐坐标组合后，左端变为 $a (u_{1} + 2 u_{2} - u_{3}) + b (v_{1} + 2 v_{2} - v_{3}) = a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0.$ 所以 $a u + b v$ 仍在 $W$ 中；零向量也在其中。 $W$ 因而是三维坐标空间的子空间。一般说，非空子集只要对所有线性组合封闭，就构成子空间；其余运算规律从原空间继承。

要找 $W$ 的基，先把能自由选择的量留下。令 $y = s, z = t$ ，由方程得 $x = - 2 s + t$ ，于是 $(x, y, z) = s (- 2, 1, 0) + t (1, 0, 1) .$ 这说明两向量张成 $W$ 。若这个组合为零，第二坐标给出 $s = 0$ ，第三坐标给出 $t = 0$ ，所以它们也线性无关。这是一组基，空间的维数为二。

例如 $(1, 1, 3) = 1 (- 2, 1, 0) + 3 (1, 0, 1)$ ，确实满足 $1 + 2 - 3 = 0$ 。三维坐标有三个数，但满足方程的点只需两个自由参数就能确定。

若把方程右端改为一，解集便不含零向量，不是子空间。不过取一个特解 $p = (1, 0, 0)$ ，所有解恰为 $p + W$ ：从任意解减去 $p$ ，右端就变成零。几何上，这是把过原点的平面整体平移；这种集合称为仿射平面。

直线y等于x经过原点并对倍乘封闭，平移后的y等于x加一含点零一却不含其两倍零二 — 用平面直线看同一差别：左图是子空间，右图是平移后的仿射直线。

左图中把向量加倍仍留在直线上。右图中 $p = (0, 1)$ 满足 $y = x + 1$ ，但 $2 p = (0, 2)$ 不满足；平移改变了集合与零向量的关系。

多项式也是向量

两个多项式能相加，每个多项式也能乘以实数，而且满足相同的线性运算规律。因此次数至多为二的实多项式（包括零多项式）构成向量空间 $P_{2} (ℝ)$ 。

每个对象都写成 $a + b x + c x^{2}$ ，所以 $1, x, x^{2}$ 张成这个空间。如果多项式 $a + b x + c x^{2}$ 恒等于零，它的三个系数必须全为零，因而这组向量无关。这就给出了三维空间的一组基。这里整个多项式是向量， $x$ 是自变量。

选择基可以配合问题的位置。若关心 $x = 1$ 附近的行为，使用 $1, x - 1, (x - 1)^{2}$ 往往更方便。以 $p (x) = 2 - 3 x + x^{2}$ 为例，设 $p (x) = a + b (x - 1) + c (x - 1)^{2} .$ 把右端展开为 $(a - b + c) + (b - 2 c) x + c x^{2}$ ，逐项比较得到 $c = 1, b - 2 c = - 3, a - b + c = 2.$ 依次解出 $c = 1, b = - 1, a = 0$ 。因此 $p (x) = - (x - 1) + (x - 1)^{2} .$ 新坐标为 $(0, - 1, 1)$ 。从这种写法能立即读出 $p (1) = 0$ ；同一个对象换一种基，某些信息就变得更容易看见。

“次数恰好为二”的多项式不构成向量空间：例如 $x^{2}$ 和 $- x^{2}$ 相加得到零，离开了这个集合。定义中“至多”两个字正是为了包含运算可能产生的结果。

维数为什么不依赖选了哪一组基

有限维空间中，一组基所含的向量数称为维数。我们已经看到，平面可以换方向，但总需要两个独立方向。一般空间也有同样的事实：任何两组基长度相同。

证明的关键是比较一组无关向量 $u_{1}, \dots, u_{k}$ 和一组生成向量 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 。把 $u_{1}$ 展开为生成向量的组合，它非零，因此至少一个系数非零。假设第一个系数非零，就能从该式解出 $v_{1}$ ，用 $u_{1}$ 替换 $v_{1}$ ，新的列表仍张成整个空间。

再展开 $u_{2}$ 。它不可能只用 $u_{1}$ 表示，否则原来的无关性被破坏。因此至少有一个尚未替换的 $v_{j}$ 具有非零系数，可以解出并替换它。重复这个过程，每加入一个 $u_{i}$ 就使用一个不同的位置，所以 $k \leq m$ 。

若两组都是基，交换它们的角色又得到相反的不等式，故长度相等。这个论证还说明：一组生成向量可以删去多余项得到基，一组无关向量可以不断补入新方向，直到成为基。

维数数的是独立参数，不是元素个数。直线上有无限多个点，却只需一个实数参数；只含零向量的空间不需要任何基向量，维数为零。所有多项式组成的空间则是无限维：任取有限组多项式，它们的次数有一个上界，线性组合不能产生更高次数的项，所以有限组不可能张成全部多项式。

系数范围也会影响维数。例如复数在实数系数下需要 $1, i$ 两个方向；在复数系数下，一个向量 $1$ 就足够。

从向量空间到矩阵

保持线性组合的函数称为线性映射，即 $T (a u + b v) = a T (u) + b T (v)$ 。以求导为例， $T (a + b x + c x^{2}) = b + 2 c x .$ 在输入基 $(1, x, x^{2})$ 和输出基 $(1, x)$ 下，三个基向量分别被送到 $0, 1, 2 x$ ，坐标依次为 $(0, 0), (1, 0), (0, 2)$ 。把它们排成列，得到矩阵 $[T] = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix}), [T] (\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 2 c \end{matrix}) .$ 这说明为什么矩阵的列是基向量的输出。选定基以后，抽象的线性映射便能化成明确的数表运算；不同的基会给出不同的矩阵表示。

历史

Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究不限于三维几何的代数量，使独立性、维数和线性组合能够放在更一般的背景下理解。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义。相关原著和概念演变见 MacTutor 的线性空间史。这条发展路线解释了今天为什么既把箭头称为向量，也把多项式和函数称为向量：它们共享的是运算规律。

参考资料与后续阅读

MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra：向量空间、基、维数和线性映射。
Gilbert Strang，《Introduction to Linear Algebra》第 3.5 节：基本子空间及其维数。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，Abstract linear spaces：Grassmann 与 Peano 的历史贡献。
前置可读集合、函数；继续阅读矩阵、线性代数和群。

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-'''向量空间'''（vector space），又称线性空间，是在一个数域上定义了向量加法与标量乘法，并满足线性运算公理的集合。平面箭头只是其中一种模型；多项式、函数、数列和矩阵也可以成为向量。这个概念把“可以叠加、可以按比例缩放”的对象统一起来，并用基和维数描述需要多少独立信息才能确定一个对象。本文主要讨论实数域或复数域上的有限维空间。
+'''向量空间'''（vector space）是一类允许相加和按数值倍乘的对象所组成的集合，这两种运算遵循通常的线性运算规律。平面中的位移是最直观的例子，多项式也可以是向量。'''基'''给出表示这些对象所需的独立方向，'''维数'''说明需要几个这样的方向。
-== 箭头之外，什么对象也能叠加 ==
+下面从平面中的两个方向出发，先理解坐标为什么可以改变，再把同一套方法用于方程和多项式。除特别说明外，系数均取实数。
-平面位移相加，是连续走两段路后的总位移；把位移乘二，是方向不变而距离加倍。多项式也能相加和数乘：把各项系数相加，或者同时乘一个数。这两种对象外观不同，却都满足加法交换、加法结合以及缩放对叠加的分配规律。抽象定义保留这些规律，暂时不规定对象必须画成什么形状。
-例如两个温度分布函数可以逐点相加，两个信号也可以逐时刻相加。但把现实对象视为向量，需要说明所采用的运算和范围。非负温度函数的集合通常不对负数数乘封闭；摄氏温度的零点还涉及测量约定。因此“看上去能相加”不是充分条件，数学空间与物理可允许状态之间可能有区别。
+== 用两个方向表示一次位移 ==
+在平面上，从原点向右走三格、向上走一格，总位移写成 <math>v=(3,1)</math>。通常选用向右一格的 <math>e_1=(1,0)</math> 和向上一格的 <math>e_2=(0,1)</math>，于是
+<math display="block">v=3e_1+e_2.</math>
+这里的加法表示把两段位移接起来，数乘表示按比例伸缩；负系数还会把方向反转。
-一个向量空间由三部分组成：标量所在的数域 <math>F</math>、向量集合 <math>V</math>、两种运算。数域提供标量的加减乘除规则，除零以外的标量都有乘法逆元。整数不能作为这里的数域，因为整数二在整数中没有乘法逆元；整数坐标与整数系数的类似结构通常称为模，其理论不应直接套用有限维向量空间的全部结论。
+方向不一定要互相垂直。换用 <math>b_1=(1,0)</math> 和 <math>b_2=(1,1)</math>，先沿斜方向走一次，已经完成向右、向上各一格；还差向右两格。所以
+<math display="block">v=2b_1+b_2.</math>
+[[File:Gezhi-vector-basis-theme.svg|frame|center|alt=从原点出发的向量三一被分解成两倍的一零向量和一一向量|沿 b₁ 走两份，再沿 b₂ 走一份，终点仍是 (3,1)。虚线帮助把两段位移首尾相接。]]
-== 公理控制哪些操作 ==
+图中终点没有改变，改变的是用来记录位移的两个方向。同一个向量在标准方向下的坐标为 <math>(3,1)</math>，在新方向下为 <math>(2,1)</math>。为避免混淆，可以写 <math>[v]_B=(2,1)</math>，其中 <math>B=(b_1,b_2)</math> 指明采用的有序方向组。
-对任意 <math>u,v,w\in V</math> 和 <math>a,b\in F</math>，向量加法必须封闭、交换、结合，存在零向量，且每个向量有加法逆元。标量乘法的结果也必须留在空间内，并满足
-<math display="block">a(u+v)=au+av,\qquad (a+b)v=av+bv,</math>
-<math display="block">a(bv)=(ab)v,\qquad 1v=v.</math>
-这里的两个“加法”分别发生在向量集合和数域中，不能混为一谈。标量零与零向量通常都写成零，但它们属于不同对象层次。公理要求它们相容，却不要求把二者看成同一个元素。
-由公理可以推得零标量乘任意向量得到零向量。因为 <math>0v=(0+0)v=0v+0v</math>，两边加上 <math>0v</math> 的加法逆元，即得结论。类似地，<math>(-1)v=-v</math>。这些事实说明常用规则不是额外偷偷加入的假设，而能从给定公理推出。
+这个方法是否能到达任意点 <math>(x,y)</math>？设所需份数为 <math>a,b</math>，逐个比较坐标：
+<math display="block">ab_1+bb_2=(a+b,b)=(x,y).</math>
+第二个坐标给出 <math>b=y</math>，第一个再给出 <math>a=x-y</math>。因此
+<math display="block">(x,y)=(x-y)b_1+yb_2.</math>
+无论目标在哪里，都能求出唯一的一对系数。这两个性质——能够表示全部对象，且表示唯一——正是基的意义。
-向量空间本身没有距离、夹角、垂直或极限。对实坐标空间常用的点积，是在向量空间之上增加的结构；有了内积才可以定义长度和正交。某组基不是直角坐标系，仍然完全合法。若讨论无限维函数空间中的收敛，还需要拓扑或范数，单靠加法与数乘不足以决定“越来越接近”是什么意思。
+== 张成、线性无关与基 ==
+把若干向量乘以系数再相加，得到的式子
+<math display="block">a_1v_1+\cdots+a_kv_k</math>
+称为'''线性组合'''。让系数自由变化，所有可能结果组成的集合称为这组向量的'''张成空间'''，记作 <math>\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)</math>。
-== 张成、无关与基回答三个不同问题 ==
+一个非零方向的所有倍数构成过原点的直线；两个不共线的平面方向能张成整个平面。若选 <math>(1,0)</math> 和 <math>(2,0)</math>，它们的组合总是 <math>(a+2b,0)</math>，因此无论怎样选系数，都到不了纵坐标为一的点。
-向量 <math>v_1,\ldots,v_k</math> 的线性组合是 <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k</math>，其中系数可任取于数域。所有这些组合构成张成空间。张成回答“能到达哪些对象”；线性无关回答“表示是否有冗余”。若一个组合等于零只能在所有系数都为零时发生，这组向量就线性无关。
-例如 <math>(1,0),(0,1),(1,1)</math> 张成整个平面，但第三个向量等于前两个之和，因而并不无关。只取前两个，既能表示全部平面向量，又没有多余向量，这就是一组基。基同时满足张成和线性无关；只有其中一项不能代替完整定义。零向量不能出现在任何线性无关组里，因为取它的系数为一、其余系数为零，就已经得到一个非平凡的零组合。
+即使能够到达全部点，方向也可能多余。三个向量 <math>e_1,e_2,e_1+e_2</math> 张成平面，但 <math>(1,1)</math> 既可以写成前两个向量之和，也可以直接取第三个。造成重复的原因是
+<math display="block">e_1+e_2-(e_1+e_2)=0.</math>
+如果 <math>a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0</math> 只能在所有系数都为零时成立，这组向量就称为'''线性无关'''。如果存在不全为零的系数使其成立，就称为线性相关；把某个非零系数对应的项移到另一边并除以该系数，便能把一个向量用其余向量表示出来。
-'''基给出的坐标为什么唯一？''' 若同一向量在一组基下有两种展开，把两式相减，就得到基向量的一个零组合。线性无关迫使每一对对应系数相等。这是坐标唯一性的证明，也解释了冗余生成组为什么可能有多种表示。坐标不是对象自身附带的标签，而是相对于指定基的编码。
+'''基'''是既张成整个空间、又线性无关的一组向量。张成保证每个向量有坐标，无关保证坐标唯一。后一结论可直接证明：若
+<math display="block">v=a_1b_1+\cdots+a_nb_n=c_1b_1+\cdots+c_nb_n,</math>
+两式相减得到 <math>\sum_{i=1}^{n}(a_i-c_i)b_i=0</math>。由无关性，所有 <math>a_i-c_i=0</math>，所以两套坐标相同。
-[[File:Gezhi-vector-basis.svg|frame|center|alt=向量三一由两倍向量一零加向量一一组成，虚线构成平行四边形|同一个向量在标准基下的坐标为 (3,1)，在 b₁=(1,0)、b₂=(1,1) 下为 (2,1)。]]
+== 从平面箭头到一般定义 ==
+前面的计算只使用加法和数乘，没有使用长度或夹角。这使我们可以把相同的规则应用到其他对象。
-设 <math>b_1=(1,0)</math>、<math>b_2=(1,1)</math>。任意向量 <math>(x,y)</math> 有展开
+实向量空间由一个非空集合 <math>V</math>、向量加法和实数与向量的乘法组成。两种运算的结果都要留在 <math>V</math> 中。向量加法满足交换律与结合律，有零向量 <math>0</math>，每个向量 <math>v</math> 有相反向量 <math>-v</math>；对任意实数 <math>a,b</math> 以及向量 <math>u,v</math>，数乘还满足
-<math display="block">(x,y)=(x-y)b_1+yb_2.</math>
+<math display="block">a(u+v)=au+av,\qquad (a+b)v=av+bv,</math>
-所以这两个向量张成平面；若 <math>ab_1+bb_2=0</math>，第二坐标给出 <math>b=0</math>，第一坐标再给出 <math>a=0</math>，因此它们无关。对 <math>(3,1)</math>，新坐标是 <math>(2,1)</math>。新坐标不是把图形搬到别处，只是改用另一套“计量方向”。
+<math display="block">a(bv)=(ab)v,\qquad 1v=v.</math>
+这些公理保证展开、合并同类项等线性计算可靠。例如，由 <math>0v=(0+0)v=0v+0v</math>，两边减去 <math>0v</math>，就得到零标量乘任何向量都等于零向量。
-== 维数为什么不是随意数出来的 ==
-有限维空间的一组基所含向量的个数称为维数。这个定义需要一个定理保障：所有基的向量数相同。核心是交换论证：若一组无关向量包含在另一组向量的张成空间中，就可以逐个用无关向量替换生成向量，同时保持张成；每加入一个独立方向，都至少消耗一个原生成位置。因此无关组的长度不能超过任何生成组的长度。
-具体说，把第一个无关向量写成生成向量的线性组合，它不为零，所以至少有一个系数非零。解出那个生成向量，就能用新向量替换它而不缩小张成空间。处理下一个无关向量时，不能只用已经换入的向量表示，否则会违反无关性，所以仍可替换一个尚未用掉的位置。重复这个有限过程得到长度比较。把两组基互换角色比较，长度就必须相同。
-这个论证也给出两个操作原则：有限生成组可以删去冗余项成为基；有限维空间中的无关组可以补足成为基。它们不是两条互不相关的技巧，而分别是从“太多的描述”删除冗余、从“尚不完整的描述”增加独立信息。后续秩—零度定理的证明就依赖基扩充。
-数域改变会改变维数。复数作为复向量空间时由一个向量 <math>1</math> 张成，维数为一；作为实向量空间时，需要 <math>1,i</math> 两个方向，维数为二，因为实数倍的 <math>1</math> 无法得到 <math>i</math>。因此只说“这个集合是几维”可能不完整，必须说明允许怎样的系数。
+把实数换为复数，就得到复向量空间；更一般地，系数可以来自一个'''数域'''。本篇的几何例子使用实数。向量空间本身不规定长度和垂直，若要讨论这些概念，还需另行指定内积。前面的斜方向组仍是一组合法的基。
-== 子空间由封闭性而不是外观决定 ==
+== 方程的解怎样成为一个空间 ==
-向量空间的子集若在原有运算下仍为向量空间，称为子空间。一个方便的判据是：子集非空，并对任意两个元素的线性组合封闭。非空确保有一个起点；用零系数得到零向量，用负一得到加法逆元，其余公理从大空间继承。不要漏掉非空条件，否则空集的封闭性会因没有反例而形式上成立。
+考虑三元齐次方程
+<math display="block">x+2y-z=0.</math>
+满足方程的所有三元组组成集合 <math>W</math>。设 <math>u,v</math> 都满足该方程，对任意实数 <math>a,b</math>，把它们逐坐标组合后，左端变为
+<math display="block">a(u_1+2u_2-u_3)+b(v_1+2v_2-v_3)=a\cdot0+b\cdot0=0.</math>
+所以 <math>au+bv</math> 仍在 <math>W</math> 中；零向量也在其中。<math>W</math> 因而是三维坐标空间的'''子空间'''。一般说，非空子集只要对所有线性组合封闭，就构成子空间；其余运算规律从原空间继承。
-考虑实三维空间中的平面 <math>W=\{(x,y,z):x+2y-z=0\}</math>。任取满足方程的两向量，按任意系数叠加后仍满足同一个齐次方程，因此是子空间。令 <math>y=s,z=t</math>，则
+要找 <math>W</math> 的基，先把能自由选择的量留下。令 <math>y=s,z=t</math>，由方程得 <math>x=-2s+t</math>，于是
 <math display="block">(x,y,z)=s(-2,1,0)+t(1,0,1).</math>
-两个生成向量无关：第二坐标确定第一个系数，第三坐标确定第二个系数。因此这是一组基，<math>\dim W=2</math>。例如向量 <math>(1,1,3)</math> 在这组基下坐标为 <math>(1,3)</math>，代回原方程也确有 <math>1+2-3=0</math>。这给出了子空间判定、参数化、找基与核验的完整流程。
+这说明两向量张成 <math>W</math>。若这个组合为零，第二坐标给出 <math>s=0</math>，第三坐标给出 <math>t=0</math>，所以它们也线性无关。这是一组基，空间的维数为二。
-把右端改为一，平面就不再包含零向量，所以不是子空间，而是仿射平面。它可以写成一个特解加上齐次解空间，但不能把“移动后的平面”与“向量子空间”混称。第一象限即使包含边界，也不对负数数乘封闭；单位圆则连加法封闭都不满足。几何上的平滑、对称或平直，都不能取代代数判据。
+例如 <math>(1,1,3)=1(-2,1,0)+3(1,0,1)</math>，确实满足 <math>1+2-3=0</math>。三维坐标有三个数，但满足方程的点只需两个自由参数就能确定。
-两个子空间的交总是子空间，因为交中的线性组合同时留在两个空间里；并集通常不是。平面的横轴与纵轴的并集包含两个坐标基向量，却不包含它们的和 <math>(1,1)</math>。包含两个子空间的最小子空间是它们的和，即所有一个空间的向量加另一个空间的向量所形成的集合，而不是集合论的并。
+若把方程右端改为一，解集便不含零向量，不是子空间。不过取一个特解 <math>p=(1,0,0)</math>，所有解恰为 <math>p+W</math>：从任意解减去 <math>p</math>，右端就变成零。几何上，这是把过原点的平面整体平移；这种集合称为仿射平面。
-== 多项式例子把“向量”从箭头中解放出来 ==
+[[File:Gezhi-teaching-subspace-shift.svg|frame|center|alt=直线y等于x经过原点并对倍乘封闭，平移后的y等于x加一含点零一却不含其两倍零二|用平面直线看同一差别：左图是子空间，右图是平移后的仿射直线。]]
-记 <math>P_2(\mathbb R)</math> 为次数至多为二的实多项式集合，包含零多项式。标准基是 <math>1,x,x^2</math>，因而维数为三。多项式 <math>2-3x+x^2</math> 的标准坐标为 <math>(2,-3,1)</math>。这里字母 <math>x</math> 是多项式的自变量，整条多项式才是向量；不能把自变量的某个取值误认为向量坐标。
-换用 <math>q_1=1,q_2=x-1,q_3=(x-1)^2</math>，令 <math>p=aq_1+bq_2+cq_3</math>。展开并比较系数得到 <math>c=1</math>、<math>b-2c=-3</math>、<math>a-b+c=2</math>，所以 <math>(a,b,c)=(0,-1,1)</math>。代回确有 <math>-(x-1)+(x-1)^2=x^2-3x+2</math>。同一个多项式的坐标可以大不相同，选择基应依据问题中哪些运算更方便。
+左图中把向量加倍仍留在直线上。右图中 <math>p=(0,1)</math> 满足 <math>y=x+1</math>，但 <math>2p=(0,2)</math> 不满足；平移改变了集合与零向量的关系。
-次数“恰好等于二”的多项式不构成向量空间：它不含零多项式，而且两个二次项可能相消。所有实多项式组成的空间则无限维，因为任何有限组多项式都有一个最高次数，线性组合无法产生更高次数的项。这一理由比“多项式很多所以无限维”更精确；有限维空间本来也可以有无限多个元素。
+== 多项式也是向量 ==
+两个多项式能相加，每个多项式也能乘以实数，而且满足相同的线性运算规律。因此次数至多为二的实多项式（包括零多项式）构成向量空间 <math>P_2(\mathbb R)</math>。
-函数的线性组合总是有限和；把一个函数表示成无穷级数属于额外的分析结构。即使正弦和余弦能通过收敛级数展开，也不能未经说明就把“级数展开的一组函数”当成纯代数意义下的基。线性独立、正交、完备、收敛是相关但不同的概念，跨入函数空间时尤其需要区分。
+每个对象都写成 <math>a+bx+cx^2</math>，所以 <math>1,x,x^2</math> 张成这个空间。如果多项式 <math>a+bx+cx^2</math> 恒等于零，它的三个系数必须全为零，因而这组向量无关。这就给出了三维空间的一组基。这里整个多项式是向量，<math>x</math> 是自变量。
-=== 零空间与空基也是合法边界 ===
+选择基可以配合问题的位置。若关心 <math>x=1</math> 附近的行为，使用 <math>1,x-1,(x-1)^2</math> 往往更方便。以 <math>p(x)=2-3x+x^2</math> 为例，设
-只含零向量的集合是一个向量空间，称为零空间。它的基是空组，维数为零，因为不需要任何非零方向就能表示其中唯一的元素。这里空组的线性组合按约定为零；这不意味着空集本身是向量空间。区分“空间里有零向量”与“选出的基不含任何向量”，可以避免对零维情形的误判。
+<math display="block">p(x)=a+b(x-1)+c(x-1)^2.</math>
+把右端展开为 <math>(a-b+c)+(b-2c)x+cx^2</math>，逐项比较得到
+<math display="block">c=1,\qquad b-2c=-3,\qquad a-b+c=2.</math>
+依次解出 <math>c=1,b=-1,a=0</math>。因此
+<math display="block">p(x)=-(x-1)+(x-1)^2.</math>
+新坐标为 <math>(0,-1,1)</math>。从这种写法能立即读出 <math>p(1)=0</math>；同一个对象换一种基，某些信息就变得更容易看见。
-有限维并不表示元素有限。实直线的维数为一，却有无穷多个点；维数数的是独立方向，不是所有元素。若数域本身只有有限多个元素，有限维空间的元素数才会有限。这个对照再次说明数域是定义的一部分，也说明几何图像提供的“方向”直觉不能替代完整的代数资料。
+“次数恰好为二”的多项式不构成向量空间：例如 <math>x^2</math> 和 <math>-x^2</math> 相加得到零，离开了这个集合。定义中“至多”两个字正是为了包含运算可能产生的结果。
-== 线性映射保留什么，遗忘什么 ==
+== 维数为什么不依赖选了哪一组基 ==
-保持全部线性组合的[[函数]]称为线性映射。求导就是从 <math>P_2</math> 到 <math>P_1</math> 的线性映射，因为和的导数等于导数之和，常数倍可以提出。它把常数多项式送到零，因此不单射；任何一次多项式都是某个二次多项式的导数，因此满射。定义域三维、核一维、像二维，正好满足秩—零度关系。
+有限维空间中，一组基所含的向量数称为'''维数'''。我们已经看到，平面可以换方向，但总需要两个独立方向。一般空间也有同样的事实：任何两组基长度相同。
-选定两边的基后，线性映射可以用[[矩阵]]表示；矩阵各列是定义域基向量的像在值域基下的坐标。向量空间和映射是对象，矩阵是依赖基的表示。不同对象若由可逆线性映射连接，就称线性同构；同一数域上的有限维空间同构，当且仅当维数相同。但同构只保留线性结构，不自动保留另行指定的长度、顺序或物理单位。
+证明的关键是比较一组无关向量 <math>u_1,\ldots,u_k</math> 和一组生成向量 <math>v_1,\ldots,v_m</math>。把 <math>u_1</math> 展开为生成向量的组合，它非零，因此至少一个系数非零。假设第一个系数非零，就能从该式解出 <math>v_1</math>，用 <math>u_1</math> 替换 <math>v_1</math>，新的列表仍张成整个空间。
-== 抽象空间的形成 ==
+再展开 <math>u_2</math>。它不可能只用 <math>u_1</math> 表示，否则原来的无关性被破坏。因此至少有一个尚未替换的 <math>v_j</math> 具有非零系数，可以解出并替换它。重复这个过程，每加入一个 <math>u_i</math> 就使用一个不同的位置，所以 <math>k\le m</math>。
-解析几何把坐标与几何运算联系起来，但“向量不必是空间箭头”的认识经历了更长发展。Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究可在任意维度组织的代数量，强调运算规律而非固定三维图形。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义，使不同模型可以在共同规则下讨论。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces/ MacTutor：Abstract linear spaces]说明了这条发展路线。
-这些工作与后来函数空间理论并非同一事件：把函数作为向量，还需要研究分析中的收敛与算子问题。因此“谁发现向量空间”不能只回答一个名字。历史上坐标方法、抽象代数和分析需求逐步汇合，现代定义才成为共同语言。今日教材先列公理，是逻辑组织方式，并不意味着概念在历史上也是先有完整公理、再寻找例子。
+若两组都是基，交换它们的角色又得到相反的不等式，故长度相等。这个论证还说明：一组生成向量可以删去多余项得到基，一组无关向量可以不断补入新方向，直到成为基。
-== English overview ==
+维数数的是独立参数，不是元素个数。直线上有无限多个点，却只需一个实数参数；只含零向量的空间不需要任何基向量，维数为零。所有多项式组成的空间则是无限维：任取有限组多项式，它们的次数有一个上界，线性组合不能产生更高次数的项，所以有限组不可能张成全部多项式。
-<div lang="en" class="math-english-summary">
-A vector space consists of a set of vectors, a field of scalars, and operations of addition and scalar multiplication satisfying compatible algebraic laws. Vectors need not be arrows: polynomials, functions, sequences, and matrices can all serve as vectors. The field is part of the definition. The complex numbers have dimension one over the complex field but dimension two over the real field.
-A basis is both linearly independent and spanning. Spanning guarantees that every vector has coordinates, while independence makes those coordinates unique. The exchange argument explains why every basis of a finite dimensional space has the same number of elements. Changing a basis changes coordinates without changing the vector.
+系数范围也会影响维数。例如复数在实数系数下需要 <math>1,i</math> 两个方向；在复数系数下，一个向量 <math>1</math> 就足够。
-Subspaces must contain zero and be closed under linear combinations. A translated plane usually fails this test even though it is geometrically flat. Worked examples find a basis of a homogeneous plane and change the basis of a polynomial space. Linear maps preserve linear combinations; matrices describe these maps after bases are chosen. Length, angles, and convergence require additional structures and are not supplied by the vector space axioms alone.
+== 从向量空间到矩阵 ==
-</div>
+保持线性组合的[[函数]]称为线性映射，即 <math>T(au+bv)=aT(u)+bT(v)</math>。以求导为例，
+<math display="block">T(a+bx+cx^2)=b+2cx.</math>
+在输入基 <math>(1,x,x^2)</math> 和输出基 <math>(1,x)</math> 下，三个基向量分别被送到 <math>0,1,2x</math>，坐标依次为 <math>(0,0),(1,0),(0,2)</math>。把它们排成列，得到矩阵
+<math display="block">[T]=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix},\qquad [T]\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b\\2c\end{pmatrix}.</math>
+这说明为什么矩阵的列是基向量的输出。选定基以后，抽象的线性映射便能化成明确的数表运算；不同的基会给出不同的矩阵表示。
-== 编者评注（AI 辅助） ==
+== 历史 ==
-本条选择平面与多项式两套算例，是为了把“向量是箭头”的初步直觉推进到“向量由运算规则确定”。基的唯一性与维数不变性不能仅靠定义宣告，因而补入了相减证明和交换论证。对子空间的辨认应逐项检查封闭性，不能依据图形是否平直。内容由 AI 辅助整理；关于无限维空间，本条只标明有限线性组合与级数的边界，不把尚未引入的收敛理论伪装成已证明结论。
+Grassmann 在 1844 年的《扩张论》中研究不限于三维几何的代数量，使独立性、维数和线性组合能够放在更一般的背景下理解。Peano 在 1888 年给出实线性空间的公理化定义。相关原著和概念演变见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Abstract_linear_spaces/ MacTutor 的线性空间史]。这条发展路线解释了今天为什么既把箭头称为向量，也把多项式和函数称为向量：它们共享的是运算规律。
 == 参考资料与后续阅读 ==