介值定理

介值定理（intermediate value theorem）说的是：若 $f$ 在闭区间 $[a,b]$ 连续，任何位于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的数 $u$，都至少是某个 $c\in [a,b]$ 的函数值。若 $u$ 严格夹在两个不同的端点值之间，则 $c$ 可取在开区间 $(a,b)$。它保证存在，不保证只有一个。

从异号到一个根

考虑 $f(x)=x^3-x-1$。计算得 $f(1)=-1$、$f(2)=5$。多项式连续，故在 1 与 2 之间必有 $f(c)=0$。若把中点 1.5 代入，得 $f(1.5)=0.875>0$，根缩进 $(1,1.5)$；再取 1.25，得 $f(1.25)=-0.296875$，根缩进 $(1.25,1.5)$。每一步只用符号变化和连续性，正是二分法能够一直保留根的理由。

曲线穿过零水平线的位置是介值定理保证的根；二分法通过保留异号端点逐步定位它。

存在性的构造

设 $f(a)<u<f(b)$，并令 $S=\{x\in [a,b]:f(x)<u\}$。集合非空且有上界，由上确界原理取 $c=supS$。如果 $f(c)<u$，连续性使 $c$ 右边足够近的点仍有函数值小于 $u$，这与 $c$ 为上界矛盾。如果 $f(c)>u$，连续性使 $c$ 左边足够近的点都大于 $u$，又与有 $S$ 中的点任意接近其上确界矛盾。所以 $f(c)=u$。论证真正用到两件事：实数有上确界，以及连续性把点上的严格不等式延伸到邻域。

图像跨过水平线并不能代替这两个条件。阶跃函数 $h(x)=0$（$x<0$）、$h(x)=1$（$x\ge 0$）的端点值可以分别为 0 与 1，却永远不取 $1/2$。反过来，即使函数连续，端点同号也不能据此断定内部没有零点，例如 $x^2-1$ 在 $[-2,2]$ 两端均为正，内部有两个根。存在性与唯一性是不同问题；上面的三次函数还需分析导数才能确认根的个数。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§2.4：介值定理的陈述与例子。
• 同书 §4.9：数值求根与起点选择。