上确界原理

上确界原理（least upper bound property）描述实数的一种完备性：每个非空且有上界的实数集合，都有一个最小的上界，称为上确界。它使“数值越来越靠近某处”能够转化为一个确实存在的实数。

先看 $A = (0, 1)$ 。1 是它的上界，2 也是；1 比 2 更紧，且任何小于 1 的数都挡不住集合中更靠近 1 的点，所以 $sup A = 1$ 。但 1 不属于 $A$ ，因此 $A$ 没有最大元素。把集合改成 $B = (0, 1]$ ，上确界仍为 1，此时 1 也属于 $B$ ，才同时是最大元素。

两条从零到一的数轴区间，上方在一处画空心端点并标上确界，下方画实心端点并标最大值 — 同一个上确界可以在集合外，也可以是集合中的最大元素。

上界、最大值与上确界

设 $S \subseteq ℝ$ 。实数 $u$ 是 $S$ 的上界，意思是每个 $s \in S$ 都满足 $s \leq u$ ；若 $M \in S$ 且仍压住所有元素， $M$ 才叫最大值。

$L = sup S$ 同时满足两个要求： $每个 s \in S 都有 s \leq L; 任何 u < L 都不是 S 的上界 .$ 因此上确界唯一。它是否属于 $S$ ，是另一个问题。非空、有上界保证上确界在实数中存在；无上界的集合，例如全部正实数，没有有限实数上确界。

第二个要求也可以换成便于计算的“逼近判据”： $L = sup S ⟺ {\begin{matrix} s \leq L & 对所有 s \in S, \\ 对任意 ε > 0, 存在 s \in S 使 L - ε < s . \end{matrix}$ 若第二行失败，某个 $L - ε$ 就已经是更小的上界；反过来，任何比 $L$ 小的候选上界 $u$ ，取 $ε = L - u$ 就被集合中的一个 $s > u$ 推翻。

例如 $S = {1 - 1 / n : n = 1, 2, \dots}$ 中每项都小于 1，所以 1 是上界。给定 $ε > 0$ ，取整数 $n > 1 / ε$ ，便有 $1 - ε < 1 - 1 / n$ 。因此 $sup S = 1$ ，但没有任何一项等于 1。

实数完备性在何处起作用

“非空且有上界就有上确界”不是单从加减乘除规则推出的。若把论域缩成有理数，考虑 $T = {q \in ℚ : q > 0, q^{2} < 2} .$ 它非空、有有理上界 2，却没有有理上确界。在实数中，上确界是 $\sqrt{2}$ ；反证法给出它不可能是有理数。有理数在 $\sqrt{2}$ 两侧可以任意接近，因此小于它的有理数不是上界，大于它的有理数又不是最小上界。这个缺口说明“有理数很密”并不等于“没有空缺”。

在一种实数的公理化建立方式中，上确界原理被列为完备性公理；在另一种构造方式中，可以先构造实数，再证明它。写证明时必须知道自己把哪一种结论当作起点，否则会把“极限存在”偷偷放进要证明极限存在的步骤里。

从上确界推出单调有界收敛

设 $(a_{n})$ 递增且有上界。其所有项组成非空有界集，故 $L = sup {a_{n} : n \geq 1}$ 存在。给定 $ε > 0$ ，逼近判据给出某一项 $a_{N} > L - ε$ 。递增性再保证所有 $n \geq N$ 都有 $L - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq L .$ 于是 $| a_{n} - L | < ε$ ，按数列的极限定义， $a_{n} \to L$ 。上确界提供候选极限，单调性把“某一项靠近”扩大为“其后每一项靠近”；两步缺一不可。

介值定理的一个证明也用同一工具：取函数值低于目标高度的那些输入，令 $c$ 为这些输入的上确界；连续性再排除 $f (c)$ 高于或低于目标的两种可能。上确界本身并不声称函数值等于目标，最后一步仍须连续性。

与上确界相对，非空且有下界的实数集合有下确界 $inf S$ 。对集合 $- S = {- s : s \in S}$ 应用上确界原理，可得 $inf S = - sup (- S)$ 。这不是另一套独立的完备性假设。

参考资料

ProofWiki，Supremum of Set in Real Numbers：上确界的两项定义条件。
MIT OpenCourseWare，18.100B Real Analysis，Lecture 01–05：实数、上确界与单调数列。
继续阅读：集合、数列的极限、介值定理。