离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的均值与方差分别记录分布的中心与围绕中心的平方偏离。若 $X$ 的取值 $x_i$ 对应概率 $p_i$，且相关和有限，则 $$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i.$$ $$\mathrm{Var}(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{p}_i.$$ 均值是概率加权的数值，方差的单位是原变量单位的平方；标准差 ${\sigma }_X=\sqrt{\mathrm{Var}(X)}$ 才回到原单位。

一张分布列的逐项计算

沿用离散型随机变量的分布列的抽卡例子：5 张卡中 2 张标记，不放回抽 2 张，标记数 $X$ 以 $3/10,6/10,1/10$ 的概率分别取 0、1、2。均值为 $$E(X)=0\cdot \frac{3}{10}+1\cdot \frac{6}{10}+2\cdot \frac{1}{10}=\frac{4}{5}=\mathrm{0.8.}$$ 它表示多次重复同一抽卡试验时的平均标记数，不要求一次试验出现 0.8 张卡。

为计算方差，先求平方的期望： $$E(X^2)=0^2\cdot \frac{3}{10}+1^2\cdot \frac{6}{10}+2^2\cdot \frac{1}{10}=1.$$ 展开平方并利用 $E(X)=\mu$，可得 $E[(X-\mu {)}^2]=E(X^2)-2\mu E(X)+{\mu }^2=E(X^2)-{\mu }^2$。因此 $$\mathrm{Var}(X)=1-(4/5{)}^2=9/25=\mathrm{0.36.}$$ $${\sigma }_X=3/5=\mathrm{0.6.}$$ 若直接按定义核对，三项贡献依次为 $(0-0.8{)}^2(0.3)=0.192$、$(1-0.8{)}^2(0.6)=0.024$、$(2-0.8{)}^2(0.1)=0.144$，相加仍是 0.36。前面的快速式不是新定义，而是同一平方和的整理。

数值变换与常见误用

若每张标记卡计 5 分，并另给所有人 2 分，总分 $Y=5X+2$。期望满足 $E(Y)=5E(X)+2=6$ 分；加上的固定 2 分不会改变离散程度，乘 5 则把每个偏离均值的距离放大 5 倍，所以 $$\mathrm{Var}(Y)=5^2\mathrm{Var}(X)=9{\text{分}}^2.$$ 一般 $\mathrm{Var}(aX+b)=a^2\mathrm{Var}(X)$。给方差写成“9 分”会漏掉平方单位。

非线性函数不能先取均值再代入：本例 $E(X^2)=1$，但 $[E(X){]}^2=0.64$。两者之差恰是方差，故只要 $X$ 不是几乎必然常数，它们就不会相等。更一般的期望词条讨论加法与条件期望；这里的逐项计算只需一张完整分布列。

试算。若奖金为 $Z=10-2X$ 元，平均奖金 $E(Z)=10-2(0.8)=8.4$ 元，方差 $\mathrm{Var}(Z)=(-2{)}^2(0.36)=1.44$ 平方元。负号改变“标记越多奖金越少”的方向，不会使方差变成负数。

参考资料

• Penn State STAT 414，第 8 课：离散变量的期望、方差与性质。