正弦定理：修订间差异

2026年10月9日 (五) 11:13的最新版本

在非退化三角形 $A B C$ 中，令 $a = B C, b = C A, c = A B$ 分别与角 $A, B, C$ 相对，外接圆半径为 $R$ 。正弦定理给出 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$ 它把一条边及其对角配成一组；把 $a$ 与邻角 $B$ 错配，就不再是同一关系。

从圆上的弦得到公式

边 $a = B C$ 是外接圆的一条弦，圆周角 $A$ 对着它。连圆心 $O$ 到 $B, C$ ，再从 $O$ 向弦作垂线，垂线把等腰三角形 $B O C$ 平分。若相应的小圆心角是 $θ$ ，半弦长等于 $R \sin (θ / 2)$ 。由圆周角定理， $θ / 2$ 或为 $A$ ，或为 $18 0^{\circ} - A$ ；两者正弦相同，故 $a = 2 R \sin A$ 。对其余两边重复，就得到三个相等的比值。这一步也解释钝角 $A$ 时为何不能只把小圆心角机械写成 $2 A$ 。

还可从面积核对三个比值。三角形面积一方面为 $b c \sin A / 2$ ，另一方面为 $c a \sin B / 2$ ；等面积并约去非零的 $c / 2$ ，得到 $b \sin A = a \sin B$ ，即 $a / \sin A = b / \sin B$ 。同理可得第三组。这个证明给出了比值相等，外接圆构造进一步指出共同值是 $2 R$ 。

设 $A = 3 0^{\circ}$ 且对边 $a = 5$ 。由 $a / \sin A = 5 / (1 / 2) = 10$ ，可知外接圆直径 $2 R = 10$ 。若再知 $B = 4 5^{\circ}$ ，则 $b = 10 \sin 4 5^{\circ} = 5 \sqrt{2}$ 。代回两个比例均为 10，完成数值核对。

两边一非夹角的歧义

若只知道一条边、它的对角和另一条边，公式可能给出 $\sin B = s$ 。当 $0 < s < 1$ 时， $B$ 可能是锐角 $\arcsin s$ ，也可能是钝角 $18 0^{\circ} - \arcsin s$ ；还要检查与已知角相加是否小于 $18 0^{\circ}$ 。所以 SSA 数据可能确定两个、一个或零个三角形，不能只按计算器给出的主值作答。

例如给定 $A = 3 0^{\circ}$ 、 $a = 5$ 、 $b = 8$ ，得 $\sin B = b \sin A / a = 4 / 5$ 。 $B$ 可约为 $53.1 3^{\circ}$ 或 $126.8 7^{\circ}$ ；两种情况下 $A + B < 18 0^{\circ}$ ，所以确有两个三角形。用余弦定理核对第三边： $25 = 64 + c^{2} - 8 \sqrt{3} c$ ，整理为 $c^{2} - 8 \sqrt{3} c + 39 = 0$ ，两根分别是 $4 \sqrt{3} + 3$ 与 $4 \sqrt{3} - 3$ ，都为正。两个角分支对应两个边长，舍去其中一根会丢失一个合法三角形。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§8.1 Law of Sines。
NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
继续阅读：外接圆与外心、余弦定理、三角形的面积公式。

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 == 从圆上的弦得到公式 ==
 边 <math>a=BC</math> 是外接圆的一条弦，圆周角 <math>A</math> 对着它。连圆心 <math>O</math> 到 <math>B,C</math>，再从 <math>O</math> 向弦作垂线，垂线把等腰三角形 <math>BOC</math> 平分。若相应的小圆心角是 <math>\theta</math>，半弦长等于 <math>R\sin(\theta/2)</math>。由[[圆周角定理]]，<math>\theta/2</math> 或为 <math>A</math>，或为 <math>180^\circ-A</math>；两者正弦相同，故 <math>a=2R\sin A</math>。对其余两边重复，就得到三个相等的比值。这一步也解释钝角 <math>A</math> 时为何不能只把小圆心角机械写成 <math>2A</math>。
+还可从面积核对三个比值。三角形面积一方面为 <math>bc\sin A/2</math>，另一方面为 <math>ca\sin B/2</math>；等面积并约去非零的 <math>c/2</math>，得到 <math>b\sin A=a\sin B</math>，即 <math>a/\sin A=b/\sin B</math>。同理可得第三组。这个证明给出了比值相等，外接圆构造进一步指出共同值是 <math>2R</math>。
 设 <math>A=30^\circ</math> 且对边 <math>a=5</math>。由 <math>a/\sin A=5/(1/2)=10</math>，可知外接圆直径 <math>2R=10</math>。若再知 <math>B=45^\circ</math>，则 <math>b=10\sin45^\circ=5\sqrt2</math>。代回两个比例均为 10，完成数值核对。
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 == 两边一非夹角的歧义 ==
 若只知道一条边、它的对角和另一条边，公式可能给出 <math>\sin B=s</math>。当 <math>0<s<1</math> 时，<math>B</math> 可能是锐角 <math>\arcsin s</math>，也可能是钝角 <math>180^\circ-\arcsin s</math>；还要检查与已知角相加是否小于 <math>180^\circ</math>。所以 SSA 数据可能确定两个、一个或零个三角形，不能只按计算器给出的主值作答。
+例如给定 <math>A=30^\circ</math>、<math>a=5</math>、<math>b=8</math>，得 <math>\sin B=b\sin A/a=4/5</math>。<math>B</math> 可约为 <math>53.13^\circ</math> 或 <math>126.87^\circ</math>；两种情况下 <math>A+B<180^\circ</math>，所以确有两个三角形。用[[余弦定理]]核对第三边：<math>25=64+c^2-8\sqrt3c</math>，整理为 <math>c^2-8\sqrt3c+39=0</math>，两根分别是 <math>4\sqrt3+3</math> 与 <math>4\sqrt3-3</math>，都为正。两个角分支对应两个边长，舍去其中一根会丢失一个合法三角形。
 == 参考资料 ==
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 [[分类:几何]]
 [[分类:代数]]
+[[分类:高中数学]]

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