三角形的面积公式

三角形的面积首先由底边长 $b$ 和到该底边所在直线的垂直高度 $h$ 给出： $$K=\frac{1}{2}bh.$$ 沿一条边复制并旋转三角形，可拼成同底同高的平行四边形；两块全等三角形各占平行四边形面积的一半。这解释了系数 $1/2$，也说明“高度”必须垂直于所选底边。

两边及夹角

若已知边 $a,b$ 及其夹角 $C$，以 $a$ 为底，从另一边端点作垂线，高为 $b\sin C$（钝角时垂足在延长线上，正弦仍给出正高度）。代入得到 $$K=\frac{1}{2}ab\sin C.$$ 例如两边长 4、5，夹角 $30^{\circ }$，面积为 $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \frac{1}{2}=5$。若误用非夹角，正弦值虽可计算，却不一定对应这两边构成的高度。

同一面积的不同表达

若三边已知，可用海伦公式 $K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$，其中 $s=(a+b+c)/2$。3-4-5 三角形有 $s=6$，故 $K=\sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=6$；从直角边作底高也得 $3\cdot 4/2=6$。若内切圆半径为 $r$，把面积分成三个以三边为底、高均为 $r$ 的小三角形，还可写 $K=rs$。不同公式适合不同已知量，算同一图形时应得到同一结果。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§8.2 三角形面积与海伦公式。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：海伦公式、内切圆与内心、正弦定理。