积分：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:32的版本

积分是把局部贡献汇总成整体量的数学运算。定积分给出指定区间内的累计量；不定积分表示一个函数的全部原函数。二者通过微积分基本定理联系起来，但含义并不相同。

从小矩形到黎曼积分

设 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界，把区间分成小段，在第 $i$ 段选择一点 $ξ_{i}$ ，构造和 $\sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} .$ 如果当最大分段长度趋于零时，这些和不依赖划分与取点而趋于同一个数，就称函数黎曼可积，该数记为 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 。闭区间上的连续函数一定黎曼可积。

在零到一区间用四个右端点矩形近似曲线y等于x平方下面的面积 — 右端点矩形在递增函数的图像上方，给出高估；不断细分后，矩形总面积趋于积分。

对 $f (x) = x^{2}$ 、区间 $[0, 1]$ ，等分成 $n$ 段并取右端点： $\sum_{i = 1}^{n} {(\frac{i}{n})}^{2} \frac{1}{n} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6 n^{3}} ⟶ \frac{1}{3} .$ 因此 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3$ 。这里积分的值来自极限，随后才可以用原函数更快捷地计算。

累计量带有符号和单位

当 $f \geq 0$ 时，积分等于图像与横轴之间的面积；若函数可正可负，积分是上方面积减去下方面积。例如 $\int_{- 1}^{1} x d x = 0, \int_{- 1}^{1} | x | d x = 1.$ 前者是有向面积，后者才是几何总面积。如果 $v (t)$ 是一维速度， $\int v (t) d t$ 给出位移， $\int | v (t) | d t$ 给出路程。若速度单位为米每秒、时间单位为秒，积分结果的单位为米。

用原函数计算定积分

若 $f$ 在 $[a, b]$ 连续，且 $F^{'} = f$ ，则 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$ 例如 $F (x) = x^{3} / 3$ 是 $x^{2}$ 的原函数，代入端点再次得到 $1 / 3$ 。不定积分则写作 $\int x^{2} d x = x^{3} / 3 + C$ ，其中 $C$ 是任意常数；定积分结果不附加这个任意常数。

换元法来自链式法则。以 $u = x^{2}$ 、 $d u = 2 x d x$ ，有 $\int_{0}^{1} 2 x e^{x^{2}} d x = \int_{0}^{1} e^{u} d u = e - 1.$ 换元时变量、微分因子与上下限必须一起变换，不能只把被积函数中的字母换掉。

不可积与反常积分

有界不保证黎曼可积。例如有理数处取 1、无理数处取 0 的函数，在任意小区间内上下界仍为 1 和 0，黎曼上下和无法靠拢。

无穷区间或无界被积函数需要额外定义反常积分，并检查相应极限。比如 $\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x}} = lim_{ε \to 0^{+}} 2 (1 - \sqrt{ε}) = 2,$ 而 $\int_{0}^{1} d x / x$ 发散。两者在 0 都无界，却有不同的可积性；不能直接在原函数中代入无定义的端点。

延伸阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.2：黎曼和与定积分。
极限 · 导数 · 期望 · 环面

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-积分把局部的量累积为整体。定积分可以表示有向面积、总路程或总质量等量，具体含义取决于被积函数。
+积分是把局部贡献汇总成整体量的数学运算。定积分给出指定区间内的累计量；不定积分表示一个函数的全部原函数。二者通过[[微积分]]基本定理联系起来，但含义并不相同。
-== 核心表达 ==
+== 从小矩形到黎曼积分 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)</math>}}
+设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 上有界，把区间分成小段，在第 <math>i</math> 段选择一点 <math>\xi_i</math>，构造和
+<math display="block">\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.</math>
+如果当最大分段长度趋于零时，这些和不依赖划分与取点而趋于同一个数，就称函数黎曼可积，该数记为 <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>。闭区间上的连续函数一定黎曼可积。
-== 直觉与例子 ==
+[[File:Gezhi-integral-sums.svg|frame|center|alt=在零到一区间用四个右端点矩形近似曲线y等于x平方下面的面积|右端点矩形在递增函数的图像上方，给出高估；不断细分后，矩形总面积趋于积分。]]
-当 f 在闭区间 [a,b] 上连续、F 是它的一个原函数时，上式成立。例如从 0 到 1 对 x 积分，结果为 1/2。
-== 继续阅读 ==
+对 <math>f(x)=x^2</math>、区间 <math>[0,1]</math>，等分成 <math>n</math> 段并取右端点：
-* [[导数]]
+<math display="block">\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\longrightarrow\frac13.</math>
-* [[微积分]]
+因此 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>。这里积分的值来自极限，随后才可以用原函数更快捷地计算。
+== 累计量带有符号和单位 ==
+当 <math>f\ge0</math> 时，积分等于图像与横轴之间的面积；若函数可正可负，积分是上方面积减去下方面积。例如
+<math display="block">\int_{-1}^1x\,dx=0,\qquad \int_{-1}^1|x|\,dx=1.</math>
+前者是有向面积，后者才是几何总面积。如果 <math>v(t)</math> 是一维速度，<math>\int v(t)\,dt</math> 给出位移，<math>\int |v(t)|\,dt</math> 给出路程。若速度单位为米每秒、时间单位为秒，积分结果的单位为米。
+== 用原函数计算定积分 ==
+若 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，且 <math>F'=f</math>，则
+<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
+例如 <math>F(x)=x^3/3</math> 是 <math>x^2</math> 的原函数，代入端点再次得到 <math>1/3</math>。不定积分则写作 <math>\int x^2\,dx=x^3/3+C</math>，其中 <math>C</math> 是任意常数；定积分结果不附加这个任意常数。
+换元法来自链式法则。以 <math>u=x^2</math>、<math>du=2x\,dx</math>，有
+<math display="block">\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx=\int_0^1e^u\,du=e-1.</math>
+换元时变量、微分因子与上下限必须一起变换，不能只把被积函数中的字母换掉。
+== 不可积与反常积分 ==
+有界不保证黎曼可积。例如有理数处取 1、无理数处取 0 的函数，在任意小区间内上下界仍为 1 和 0，黎曼上下和无法靠拢。
+无穷区间或无界被积函数需要额外定义反常积分，并检查相应极限。比如
+<math display="block">\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2,</math>
+而 <math>\int_0^1 dx/x</math> 发散。两者在 0 都无界，却有不同的可积性；不能直接在原函数中代入无定义的端点。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-2-the-definite-integral OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.2]：黎曼和与定积分。
+* [[极限]] · [[导数]] · [[期望]] · [[环面]]
 [[分类:分析]]