勾股定理：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:33的版本

勾股定理说明：在欧氏平面上的直角三角形中，两条直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方。若直角边长为 $a, b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ 斜边是直角所对的边，也是三角形中最长的边。定理中的平方可解释为以各边为边长所作正方形的面积。

用面积拼合证明

把四个全等的直角三角形放在边长为 $a + b$ 的大正方形内，使四条斜边围出中间图形。

四个直角三角形拼在大正方形四角，中间留下以斜边c为边长的正方形 — 外部面积 (a+b)² 等于四个三角形的总面积 2ab 加上中间正方形面积 c²。

中间四条边都长为 $c$ ；其相邻边夹角为 90 度，因为原三角形两个锐角之和为 90 度。因此中间确实是正方形，而不只是边长相等的任意四边形。比较面积： $(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{a b}{2} + c^{2} .$ 展开并消去 $2 a b$ ，得到 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。证明同时解释了为什么结论中出现平方。

一个长度计算与一个判定

直角边分别为 3 和 4 时，斜边为 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ 。若已知斜边 13、一条直角边 5，则另一条为 $\sqrt{1 3^{2} - 5^{2}} = 12$ ；斜边的平方应被减去一条直角边的平方，不能把已知两边都相加。

逆命题也成立：若一个三角形的三条边满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $c$ 所对的角是直角。可另作两直角边为 $a, b$ 的直角三角形，由勾股定理知斜边也是 $c$ ；两三角形三边对应相等，因而全等。

所以边长 5、12、13 可以判定为直角三角形，而 2、3、4 不满足。判定时先找最长边作为候选斜边。

坐标距离公式

平面上两点 $P = (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q = (x_{2}, y_{2})$ 的水平、竖直位移互相垂直，因而 $d (P, Q) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} .$ 例如 $P = (1, 2)$ 、 $Q = (4, 6)$ 的距离为 5。三维中对互相垂直的坐标方向重复应用，得到 $\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}}$ 。

在内积空间中，这推广为：若 $⟨ u, v ⟩ = 0$ ，则 $‖ u + v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + ‖ v ‖^{2}$ 。垂直性消去了展开式中的交叉项。

为什么需要“直角”和“欧氏”

一般三角形遵循余弦定理 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C,$ 其中 $C$ 是两边 $a, b$ 的夹角。直角时余弦为零，才退化为勾股定理。曲面上以测地线为边的三角形还会受曲率影响，例如球面三角形不能直接套用欧氏勾股公式。

延伸阅读

Euclid，《几何原本》第一卷命题 47（David E. Joyce 编注）：经典几何证明。
向量空间 · 圆锥曲线 · 环面

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-在欧氏平面中，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
+勾股定理说明：在欧氏平面上的直角三角形中，两条直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方。若直角边长为 <math>a,b</math>，斜边长为 <math>c</math>，则
+<math display="block">a^2+b^2=c^2.</math>
+斜边是直角所对的边，也是三角形中最长的边。定理中的平方可解释为以各边为边长所作正方形的面积。
-== 核心表达 ==
+== 用面积拼合证明 ==
-{{定义|内容=<math display="block">a^2+b^2=c^2</math>}}
+把四个全等的直角三角形放在边长为 <math>a+b</math> 的大正方形内，使四条斜边围出中间图形。
-== 直觉与例子 ==
+[[File:Gezhi-pythagoras-dissection.svg|frame|center|alt=四个直角三角形拼在大正方形四角，中间留下以斜边c为边长的正方形|外部面积 (a+b)² 等于四个三角形的总面积 2ab 加上中间正方形面积 c²。]]
-其中 a、b 是两条直角边的长度，c 是斜边长度。例如边长为 3、4、5 的三角形是直角三角形。
+中间四条边都长为 <math>c</math>；其相邻边夹角为 90 度，因为原三角形两个锐角之和为 90 度。因此中间确实是正方形，而不只是边长相等的任意四边形。比较面积：
+<math display="block">(a+b)^2=4\cdot\frac{ab}{2}+c^2.</math>
+展开并消去 <math>2ab</math>，得到 <math>a^2+b^2=c^2</math>。证明同时解释了为什么结论中出现平方。
-== 继续阅读 ==
+== 一个长度计算与一个判定 ==
-* [[圆锥曲线]]
+直角边分别为 3 和 4 时，斜边为 <math>\sqrt{3^2+4^2}=5</math>。若已知斜边 13、一条直角边 5，则另一条为 <math>\sqrt{13^2-5^2}=12</math>；斜边的平方应被减去一条直角边的平方，不能把已知两边都相加。
-* [[向量空间]]
+逆命题也成立：若一个三角形的三条边满足 <math>a^2+b^2=c^2</math>，则 <math>c</math> 所对的角是直角。可另作两直角边为 <math>a,b</math> 的直角三角形，由勾股定理知斜边也是 <math>c</math>；两三角形三边对应相等，因而全等。
+所以边长 5、12、13 可以判定为直角三角形，而 2、3、4 不满足。判定时先找最长边作为候选斜边。
+== 坐标距离公式 ==
+平面上两点 <math>P=(x_1,y_1)</math> 与 <math>Q=(x_2,y_2)</math> 的水平、竖直位移互相垂直，因而
+<math display="block">d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.</math>
+例如 <math>P=(1,2)</math>、<math>Q=(4,6)</math> 的距离为 5。三维中对互相垂直的坐标方向重复应用，得到 <math>\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2}</math>。
+在内积空间中，这推广为：若 <math>\langle u,v\rangle=0</math>，则 <math>\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2</math>。垂直性消去了展开式中的交叉项。
+== 为什么需要“直角”和“欧氏” ==
+一般三角形遵循余弦定理
+<math display="block">c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,</math>
+其中 <math>C</math> 是两边 <math>a,b</math> 的夹角。直角时余弦为零，才退化为勾股定理。曲面上以测地线为边的三角形还会受曲率影响，例如球面三角形不能直接套用欧氏勾股公式。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/elements/bookI/propI47.html Euclid，《几何原本》第一卷命题 47（David E. Joyce 编注）]：经典几何证明。
+* [[向量空间]] · [[圆锥曲线]] · [[环面]]
 [[分类:几何]]