微积分

微积分（calculus）研究变化率与累积量。导数从一条函数曲线求出局部变化率，积分把各小段的贡献相加；微积分基本定理说明，这两种运算为什么能够互相连接。

同一段运动，可以怎样计算

设位置函数为 $s (t) = t^{2} + 5$ ，位置以米计，时间 $t$ 以秒计。1秒时位置为6米，3秒时为14米，位置变化为8米。这是直接比较端点得到的答案。

也可以先算速度。时间 $t$ 到 $t + h$ 的平均速度为 $\frac{s (t + h) - s (t)}{h} = \frac{2 t h + h^{2}}{h} = 2 t + h .$ 让非零间隔 $h$ 趋于零，得到瞬时速度 $v (t) = 2 t$ 。若反过来只知道速度，怎样重新得到这段8米的变化？

把1至3秒等分为 $n$ 段，每段长 $h = 2 / n$ 。第 $k$ 段的左端时间为 $1 + (k - 1) h$ ，用该时刻速度估计这一段位移，总和是 $\begin{matrix} S_{n} & = \sum_{k = 1}^{n} 2 (1 + (k - 1) h) h \\ = 2 n h + 2 h^{2} \frac{n (n - 1)}{2} = 8 - \frac{4}{n} . \end{matrix}$ 速度在增加，所以左端点低估；右端点和同理为 $8 + 4 / n$ 。分段越来越细，两者都趋于8，正好等于位置的端点差。我们分别使用位置比较、差商、速度求和，最后得到相容的结果。

左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方 — 左图的高度为速度，面积表示累计位移；右图累计函数的斜率又给出原来的速度。

图右侧从0开始累计，画出的是 $t^{2}$ ；实际位置 $t^{2} + 5$ 在它上方5米。共同的速度只决定位置变化，初始位置决定这项常数。这正是下面基本定理所解释的两层关系。

基本定理第一部分：累积的变化率

设 $f$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 连续，定义 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 这里 $t$ 是被积分的哑变量， $x$ 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 $x$ ，有 $A^{'} (x) = f (x)$ 。

证明。 根据积分的区间可加性，增量 $A (x + h) - A (x)$ 等于新加入的小区间上的积分。因此 $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t .$ 给定任意 $ε > 0$ ，连续性保证存在一个邻域，其中 $| f (t) - f (x) | < ε$ 。当非零 $h$ 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 $h$ 为正还是负，上式绝对值都不超过 $ε | h | / | h | = ε$ 。故差商趋于 $f (x)$ ，证毕。

在运动例子中，小区间内的速度都靠近当前速度，因此“位移增量除以时间增量”趋于当前速度。连续性保障了这个统一控制。标准陈述见 OpenStax §5.3。

基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累

仍设 $f$ 连续，并设 $F$ 在闭区间连续，在开区间内满足 $F^{'} = f$ 。上一节构造的 $A$ 满足相同导数，所以 $(F - A)^{'} = 0$ 。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是 $F (b) - A (b) = F (a) - A (a) .$ 又因为 $A (a) = 0$ ，所以 $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$ 这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。对 $f (t) = 2 t$ ，原函数 $F (t) = t^{2}$ ，于是 $\int_{1}^{3} 2 t d t = 3^{2} - 1^{2} = 8$ 。前面矩形求和的结果现在可以通过端点相减直接取得。

不定积分写成 $F (x) + C$ 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见积分。

上限变化时，累积量怎样变化

令 $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} e^{- t^{2}} d t$ 。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 $H (u) = \int_{0}^{u} e^{- t^{2}} d t$ ，由基本定理 $H^{'} (u) = e^{- u^{2}}$ ，再对 $G (x) = H (x^{2})$ 使用链式法则，得到 $G^{'} (x) = 2 x e^{- x^{4}} .$ 这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 $2 x$ 正记录这一点。

给定流量，求水箱何时达到指定水量

设一个理想水箱的净流入速率为 $q (t) = 6 - 2 t$ 升每分钟，在 $0 \leq t \leq 3$ 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系， $V (t) = 4 + \int_{0}^{t} (6 - 2 u) d u = 4 + 6 t - t^{2} .$ 在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 $4 + 6 t - t^{2} = 12$ ，得到 $t = 2$ 或 $t = 4$ ；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。

方程的两个根来自二次函数的对称性，但本题只规定了前三分钟的流量。也可检查 $V^{'} (t) = 6 - 2 t = q (t)$ 与 $V (0) = 4$ ：导数恢复流量，常数恢复初始存水。

用变化率找到最大面积

可导函数在一点附近满足 $f (a + h) = f (a) + f^{'} (a) h + o (h)$ 。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。

例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 $x$ 与 $10 - x$ ，面积为 $A (x) = x (10 - x)$ ，定义域 $0 \leq x \leq 10$ 。导数 $A^{'} (x) = 10 - 2 x$ 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。

相比之下， $x^{3}$ 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，优化进一步组织可行域、存在性及最优性条件。

用有限次计算近似积分

数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 $\int_{0}^{1} x^{2} d x = 1 / 3$ ，复合梯形法取 $n$ 个等长区间，每段梯形面积是同段左、右矩形面积的平均。因此 $T_{n} = (L_{n} + U_{n}) / 2$ 。将积分中平方函数的两个和式相加，一次误差项相消，留下 $T_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6 n^{2}} .$ 因此一步为 $1 / 2$ ，两步为 $3 / 8$ ，四步为 $11 / 32$ ；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。

数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 $η$ 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 $2 η / | h |$ 。因此不断减小 $h$ 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。

数值积分、牛顿法和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。

两端都在变化的积分

基本定理不只处理固定下限。若 $f$ 连续，而上下限 $a (x), b (x)$ 都可导，取一个固定参考点 $c$ ，将积分改写为 $\int_{c}^{b (x)} f - \int_{c}^{a (x)} f$ ，分别使用基本定理和链式法则，便得到 $\frac{d}{d x} \int_{a (x)}^{b (x)} f (t) d t = f (b (x)) b^{'} (x) - f (a (x)) a^{'} (x) .$ 右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 $H (x) = \int_{x}^{2 x} t^{2} d t$ ，求导为 $(2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 7 x^{2}$ ；直接先积分得到 $H (x) = 7 x^{3} / 3$ ，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。

若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。

基本定理的连续性用在何处

令速度在0之前为0，在0之后为1，零点也取1。取从0开始的累计函数，便有 $A (t) = 0$ （ $t \leq 0$ ）与 $A (t) = t$ （ $t > 0$ ）。它在0连续，但左斜率为0、右斜率为1，所以该处导数不存在。累计仍然有意义，瞬时恢复却在跳跃处失败；基本定理第一部分的连续性正是用来排除这种情况。

在连续流量模型中，储量变化率等于净输入速率，写作 $V^{'} = q$ ；给定初值后，积分形式是 $V (t) = V (0) + \int_{0}^{t} q (u) d u$ 。若净输入还依赖当前储量，例如流出量与水位有关，就得到以未知函数及其导数共同出现的微分方程。

历史：多条问题线索汇成一门学科

微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。相关年代与贡献见 MacTutor：The rise of calculus。

十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这些工作逐步明确了计算规则适用于哪些函数、其极限为何存在。

来源与继续阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3：基本定理。
同书 §4.2：局部线性近似。
OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6：数值积分。
MacTutor：The rise of calculus：历史来源。
基础路线：极限 → 导数与积分 → 微分方程；计算路线：数值积分、牛顿法。