圆锥曲线

圆锥曲线（conic sections）包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。它们可以由平面截取圆锥面得到，也可以由距离条件或二元二次方程描述。下面先从两个固定点和一根绳子出发，说明距离怎样决定一条曲线。

两个钉子、一根绳子

在平面上取两个相距八单位的点，把它们记为 $F_{1} = (- 4, 0)$ 、 $F_{2} = (4, 0)$ 。设一根不可伸长的绳子两端固定在这两点，绳长为十。用笔尖把绳子绷紧，移动笔尖，笔尖所在点 $P$ 总满足 $P F_{1} + P F_{2} = 10.$ 画出的曲线是椭圆，两个固定点称为焦点。笔尖在 $(0, 3)$ 时，两段绳长都是五；在 $(5, 0)$ 时，两段绳长是一和九。点虽然换了，长度和仍为十。

并排的椭圆、抛物线与双曲线图，焦点标为小点，抛物线准线画为虚线 — 距离条件分别控制“和”“相等”与“差的绝对值”。三幅图使用各自坐标尺度，不能直接比较图中的长度。

看图中的椭圆，焦点位于长轴上、曲线内部。中间的抛物线使用一个焦点和一条虚线准线；右边的双曲线使用两个焦点。三幅图依次比较距离的和、距离是否相等、距离差的绝对值。点到准线的距离沿垂线量取。每幅图使用自己的尺度，图上看起来相近的线段不一定代表同样长度。

从绳长条件推出椭圆方程

对点 $P = (x, y)$ ，把到左、右焦点的距离记为 $r_{1}, r_{2}$ 。根据勾股定理， $r_{1}^{2} = (x + 4)^{2} + y^{2}, r_{2}^{2} = (x - 4)^{2} + y^{2} .$ 相减后 $y^{2}$ 消去，得到 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 16 x$ 。另一方面，平方差可拆成 $(r_{1} - r_{2}) (r_{1} + r_{2})$ ；绳长条件已经告诉我们第二个因子是十。因此 $r_{1} - r_{2} = \frac{8}{5} x, r_{1} = 5 + \frac{4}{5} x .$ 把这个表达式代回距离平方，展开两边： $x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} = 25 + 8 x + \frac{16}{25} x^{2} .$ 消去 $8 x$ ，把平方项收集起来： $\frac{9}{25} x^{2} + y^{2} = 9, \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1.$ 在横轴上令 $y = 0$ ，得到两端 $x = \pm 5$ ；在纵轴上令 $x = 0$ ，得到 $y = \pm 3$ 。椭圆的半长轴、半短轴分别是五、三，整条轴长分别是十、六。

焦点在横坐标负四与四，椭圆顶点零三到两焦点距离都为五 — 绳长十、焦点间距八的椭圆。两条金色线段长度之和保持为十。

图中取的是上端点，两个直角三角形的直角边为三、四，所以两段斜边都为五。笔尖移动到右端点后，两个距离成为一和九；它们的和相同。

一般地，焦点为 $(\pm c, 0)$ ，距离和为 $2 a$ ，其中 $a > c \geq 0$ 。重复上面的平方差步骤得到 $r_{1} = a + \frac{c x}{a}, r_{2} = a - \frac{c x}{a}, \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2} - c^{2}} = 1.$ 令 $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ ，就得到常用的标准方程 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ 。

方程与距离条件还要反向核对：方程给出 $| x | \leq a$ ，所以 $a \pm c x / a$ 都为正；它们的平方恰好是两段距离平方，故确实就是两段距离，和为 $2 a$ 。如果 $c = 0$ ，焦点重合， $b = a$ ，曲线成为圆。若距离和只有焦点间距 $2 c$ ，可行点只有两焦点之间的线段；小于这个间距时，没有可行点。OpenStax：椭圆

等距离给出抛物线

现在固定一个焦点 $F = (2, 1)$ ，再固定准线 $x = - 2$ ，寻找与两者等距的全部点。点 $P = (x, y)$ 到焦点的距离为 $\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}}$ ，到准线的距离为 $| x + 2 |$ 。因此 $\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}} = | x + 2 | .$ 两边非负，平方后仍等价。展开 $(x - 2)^{2}$ 与 $(x + 2)^{2}$ ，消去相同项，得到 $(y - 1)^{2} = 8 x .$ 曲线只能在 $x \geq 0$ 的区域；横坐标最小的点为 $(0, 1)$ ，称为顶点。取 $(2, 5)$ ，到焦点的距离为四，到准线的距离也为四，直接验证了定义。

抛物线上点二五到焦点二一的竖直距离与到准线横坐标负二的水平距离都为四 — 从点 P 向准线作垂线，垂足为 H。PF 与 PH 是定义中要比较的两段距离。

图中的直角标记说明 PH 垂直于准线，长度是点到直线的距离。金色的 PF 与 PH 相等；P 换到曲线别处，两段的方向与长度会变化，等距关系仍保持。

把顶点移到原点，焦点写成 $(p, 0)$ ，准线写成 $x = - p$ ，同一推导得到 $y^{2} = 4 p x$ ，其中 $p > 0$ 是顶点到焦点的距离。这说明方程中的系数为什么是 $4 p$ 。这里要求焦点不在准线上。若焦点落在准线上，等距点集便退化为过该点且垂直于准线的直线。

距离差给出双曲线

把焦点改为 $F_{1} = (- 5, 0)$ 、 $F_{2} = (5, 0)$ ，这次要求两距离的差的绝对值为六。右侧一支上的点更靠近右焦点，因此 $r_{1} - r_{2} = 6$ 。又有 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = 20 x$ ，于是 $r_{1} + r_{2} = \frac{10 x}{3}, r_{1} = \frac{5 x}{3} + 3.$ 将后式平方，与 $(x + 5)^{2} + y^{2}$ 相等，消去一次项，得到 $x^{2} + 25 + y^{2} = \frac{25 x^{2}}{9} + 9, \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1.$ 右支满足 $x \geq 3$ ；交换距离差的符号得到关于纵轴对称的左支。右顶点 $(3, 0)$ 到两焦点的距离为八和二，差恰为六。

双曲线右上支点的横坐标为五、纵坐标为三分之十六，到两焦点距离为34/3及16/3，竖线标示它与渐近线的高度差4/3 — 金色线段比较焦点距离，青色短线比较曲线与渐近线的高度。

图中取 P=(5,16/3)，两焦点距离为 34/3 与 16/3，相差六。该横坐标处的渐近线高度为 20/3，比曲线高 4/3；随着点向右移，这个高度差逐渐变小，下面将证明它趋于零。

对一般焦点 $(\pm c, 0)$ ，给定正距离差 $2 a$ 且 $0 < a < c$ ，令 $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ ，得到 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1.$ 在右支 $x \geq a$ 上，距离为 $c x / a + a$ 与 $c x / a - a$ ，二者非负且差为 $2 a$ ；左支由对称性得到。这也完成了方程到距离定义的反向验证。

在图的双曲线部分，两支向外延伸，逐渐靠近两条斜线。对当前例子的右上支， $y = \frac{4}{3} \sqrt{x^{2} - 9} .$ 它与直线 $y = 4 x / 3$ 的纵向差为 $y - \frac{4}{3} x = \frac{4}{3} (\sqrt{x^{2} - 9} - x) = \frac{4}{3} \frac{- 9}{\sqrt{x^{2} - 9} + x} ⟶ 0.$ 最后一步将平方根之差乘以共轭式，分子变为常数、分母趋于无穷。到直线的垂直距离也随之趋零，所以这条直线是渐近线。其余分支由对称性得到，完整的两条渐近线为 $y = \pm 4 x / 3$ 。渐近线上的点不满足原方程：代入左边得到零，而曲线上应等于一。

方程中的平移与旋转

坐标原点不在曲线中心时，方程会出现一次项。例如 $4 x^{2} + 9 y^{2} - 8 x + 36 y + 4 = 0.$ 把同一变量放在一起，分别补成平方： $4 [(x - 1)^{2} - 1] + 9 [(y + 2)^{2} - 4] + 4 = 0.$ 常数合并为 $- 36$ ，移到右边，再除以三十六，得到 $\frac{(x - 1)^{2}}{9} + \frac{(y + 2)^{2}}{4} = 1.$ 它是把半轴三和二的椭圆移到中心 $(1, - 2)$ 。焦距参数为 $\sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$ ，焦点为 $(1 \pm \sqrt{5}, - 2)$ 。

轴的方向发生旋转时，还会出现交叉项。例如 $5 x^{2} - 6 x y + 5 y^{2} = 8$ 。沿两条互相垂直的方向 $x = y$ 和 $x = - y$ 选新坐标： $u = \frac{x + y}{\sqrt{2}}, v = \frac{- x + y}{\sqrt{2}} .$ 反解得 $x = (u - v) / \sqrt{2}$ 、 $y = (u + v) / \sqrt{2}$ ，因此 $x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2}, x y = \frac{u^{2} - v^{2}}{2} .$ 代入原式便得到 $5 (u^{2} + v^{2}) - 3 (u^{2} - v^{2}) = 8$ ，即 $u^{2} / 4 + v^{2} = 1$ 。这仍是椭圆，半轴为二和一，长轴沿 $x = y$ 。交叉项记录了轴的方向，并不单独决定曲线类型。

怎样分类一般二次方程

一般方程写为 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ ，其中二次项不全为零。平移和正交旋转可以把它化为易读的形式。常用的判别量 $Δ = B^{2} - 4 A C$ 用来区分二次部分的类型，但还需检查整条曲线是否退化、是否有实点。

判别量	非退化且有实点时的类型	一种标准形式
$Δ < 0$	椭圆，包含圆	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$
$Δ = 0$	抛物线	$y^{2} = 4 p x$ ， $p \neq 0$
$Δ > 0$	双曲线	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$ ， $a, b > 0$

例如 $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ 的判别量为负，却没有实点； $x^{2} + y^{2} = 0$ 只有原点； $x^{2} - y^{2} = 0$ 可以分解为 $(x - y) (x + y) = 0$ ，是两条相交直线。它们都不能直接按表中的三种非退化曲线命名。

用矩阵可以统一检查退化：构造 $M = (\begin{matrix} A & B / 2 & D / 2 \\ B / 2 & C & E / 2 \\ D / 2 & E / 2 & F \end{matrix}) .$ 当 $det M \neq 0$ 时，方程在射影二次曲线意义下非退化；在本文的实平面中仍要检查实解。手算时，先配方或分解通常更直观：两个正平方的和等于正数、零、负数，分别给出椭圆、单点、空集。把整个方程乘以任意非零常数不改变点集，因此检验的是这些条件，而不是某个孤立系数的正负。

离心率怎样统一三种距离条件

给定焦点 $F$ 与不经过它的准线 $ℓ$ ，要求点 $P$ 满足 $d (P, F) = e d (P, ℓ)$ ，其中 $e > 0$ 是固定的距离比，称为离心率。

取 $F = (0, 0)$ 、 $ℓ : x = d$ ，其中 $d > 0$ 。平方距离条件得到 $x^{2} + y^{2} = e^{2} (x - d)^{2}, (1 - e^{2}) x^{2} + y^{2} + 2 e^{2} d x - e^{2} d^{2} = 0.$ 若 $e < 1$ ，两个平方项同号，配方得到椭圆；若 $e > 1$ ，平方项异号，得到双曲线；若 $e = 1$ ， $x^{2}$ 项消失，留下抛物线。这个方程的完整矩阵行列式为 $- e^{2} d^{2} \neq 0$ ，且焦点与准线之间的线段上存在满足比例的点，所以这里三种情形都确有实点而不退化。

椭圆和双曲线的离心率都可写为 $e = c / a$ 。开头绳长十、焦点间距八的椭圆，离心率为 $4 / 5$ ；双曲线例子则为 $5 / 3$ 。它们不依赖统一放大的尺度。圆的离心率约定为零，是椭圆焦点重合的极限情形；若直接在有限准线条件里代入 $e = 0$ ，只会得到焦点本身，因而圆应单独处理。

截面与历史

在三维空间中，平面截取双叶圆锥面可得到这三类曲线。平面经过锥顶时还会产生点或直线等退化截面；这与二次方程中出现的退化情形相对应。距离定义适合推出焦点和轴长，二次方程适合计算平移、旋转与拟合，截面则说明“圆锥曲线”名称的来源。

公元前四世纪的梅内克缪斯与早期圆锥曲线及倍立方研究有关；阿波罗尼奥斯在约公元前三世纪至前二世纪的《圆锥曲线论》中系统发展了截面理论。古典研究主要使用几何比例与构造，本文的坐标方程属于后来的解析表达。MacTutor：Menaechmus；MacTutor：Apollonius

参考资料与知识联系

OpenStax，《Precalculus 2e》，10.1 The Ellipse、10.2 The Hyperbola、10.3 The Parabola、10.4 Rotation of Axes。可参阅标准参数与主轴变换。
MacTutor，University of St Andrews：Menaechmus、Apollonius。有关人物、作品与史料背景。
前置：勾股定理、欧氏几何；后续：矩阵、最小二乘法、数学建模。