极限

极限描述变量趋近某个位置或无穷远时，函数值或数列项所趋近的确定数值。它关心的是趋近过程中的行为，不要求函数在目标点有定义，也不要求在那里取到极限值。导数和积分都建立在极限之上。

趋近一个点的含义

对实函数 $f$，设 $a$ 是定义域的聚点。写作 $$\underset{x\to a}{lim}f(x)=L$$ 表示：对任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使定义域内所有满足 $0<|x-a|<\delta$ 的 $x$ 都满足 $|f(x)-L|<\epsilon$。

$\epsilon$ 是允许的输出误差，$\delta$ 是足以控制误差的输入范围。选择 $\delta$ 可以依赖 $\epsilon$，但不能对范围内的每个 $x$ 临时更改。“对任意误差都能做到”比“图像看起来接近”更强。

误差带示意：缩小横轴上的输入范围，可以把函数值限制在目标值附近。图中具体区间只是一次选择，定义要求任意正误差都可控制。

一次完整的误差估计

证明 $\underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4$。先令 $|x-2|<1$，于是 $1<x<3$，从而 $|x+2|<5$。于是 $$|x^2-4|=|x-2||x+2|<5|x-2|.$$ 对任意 $\epsilon >0$，取 $\delta =min\{1,\epsilon /5\}$，就能保证 $0<|x-2|<\delta$ 时误差小于 $\epsilon$。先限制一个较大邻域，再给误差一个上界，是常用证明方法。

函数值、左右极限与连续

函数 $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}(x\ne 1)$$ 在 $x=1$ 无定义，但在其他点等于 $x+1$，所以其极限为 2。补定义 $f(1)=2$ 可以得到连续函数；补成 7 不改变极限，却仍然不连续。

在左右两侧都有定义的通常情形下，双侧极限存在当且仅当左极限和右极限存在且相等。例如 $f(x)=|x|/x$ 在 0 左侧为 −1，右侧为 1，因而在 0 没有双侧极限。连续则进一步要求 $f(a)$ 存在并等于该极限。

数列与无穷远

数列极限 $a_n\to L$ 的定义是：对任意 $\epsilon >0$，存在正整数 $N$，使所有 $n\ge N$ 都有 $|a_n-L|<\epsilon$。例如 $a_n=1/n$，选 $N>1/\epsilon$ 即可。

无界增大的数列可以记为趋于 $+\mathrm{\infty }$，但这不是收敛到某个实数。例如 $n$ 趋于正无穷，而 $(-1{)}^n$ 既不收敛，也不趋于正负无穷。

计算规则与常见陷阱

有限极限满足和、差、积的运算法则；商的法则还要求分母极限不为零。出现 $0/0$ 不是答案，而是这些规则不能直接决定结果的信号：$x/x\to 1$，$x^2/x\to 0$，而 $x/x^2$ 在 0 没有有限双侧极限。

夹逼定理提供另一种方法。由 $|\sin (1/x)|\le 1$ 得 $$-x^2\le x^2\sin (1/x)\le x^2,$$ 故中间函数在 $x\to 0$ 时趋于 0，尽管正弦因子本身不断振荡。代入、约分、夹逼等方法各有条件，数值表只能帮助猜测极限，不能替代这些条件。

延伸阅读

• OpenStax，《Calculus Volume 1》§2.5：极限的精确定义。
• 逻辑 · 导数 · 微积分