洛吉斯蒂模型

洛吉斯蒂模型（logistic growth model）描述增长逐渐受到资源限制的过程。规模较小时接近指数增长；规模接近承载量时，增长放缓。它是连续、确定性的模型，适用于数量可近似连续且环境相对稳定的情形。

个体更多，为什么总增长反而会变慢

设一个教学种群的承载量为1000，资源充足时每个个体的日净增长率为0.4。指数模型会把总增长率写成 $0.4 N$ ，其中 $N$ 是当前数量；这样长期增长没有上限。

现在假定每个个体的增长率随数量线性下降，到1000时降为零，即取 $0.4 (1 - N / 1000)$ 。乘以个体数，得到总增长率 $0.4 N (1 - N / 1000)$ 。数量为100时，每日净增长为36；数量为500时为100；数量为900时又回到36。每个个体的增长率一直在下降，总增长率却先升后降，因为参与增长的个体数也在变化。

将具体参数换成一般符号： $r > 0$ 是低密度增长率， $K > 0$ 是承载量， $N (t)$ 是时间 $t$ 的数量，则 $N^{'} = r N (1 - \frac{N}{K}) .$ 以天为时间单位时， $r$ 的单位为每天， $K$ 与 $N$ 单位相同。展开得到 $N^{'} = r N - (r / K) N^{2}$ ：第一项是低密度增长，第二项是密度抑制。这种二次抑制来自“人均增长率线性下降”的模型假设。

先看相线，不急着求公式

令 $F (N) = r N (1 - N / K)$ 。其零点为 0 和 $K$ ，对应两个平衡解。对非负状态，符号分布如下。

状态范围	$N^{'}$ 的符号	随时间的变化
$N = 0$	零	没有外来输入时始终为零
$0 < N < K$	正	单调增加，趋向承载量
$N = K$	零	保持平衡
$N > K$	负	单调下降，趋向承载量

右端是多项式，对 $N$ 局部 Lipschitz 连续，所以给定初值有局部唯一解。轨迹不能在有限时间与某个平衡解相交后又穿过它，否则相交时同一初值将对应两条不同解。因此正初值的轨迹保持为正，从承载量下方出发不会在连续模型中超调到上方。

从承载量两侧出发，变化方向都指向K，所以K是吸引附近轨迹的稳定平衡；微小的正数量却会远离零，零平衡不稳定。下一节的显式解将证明所有正初值在未来都趋向K。

从增长规律求出数量函数

对于 $N_{0} > 0$ 且 $N_{0} \neq K$ 的非平衡解，分离变量得 $\frac{d N}{N (1 - N / K)} = r d t .$ 利用部分分式分解，左侧等于 $(1 / N + 1 / (K - N)) d N$ ，积分得到 $\log | \frac{N}{K - N} | = r t + C .$ 在不穿过平衡点的区间内，比值 $N / (K - N)$ 的符号固定。指数化并把符号计入常数，得到 $N / (K - N) = C e^{r t}$ ，其中 $C = N_{0} / (K - N_{0})$ 。交叉相乘为 $N (1 + C e^{r t}) = K C e^{r t}$ ，再除以 $C e^{r t}$ ，得到 $N (t) = \frac{K}{1 + A e^{- r t}}, A = \frac{K}{N_{0}} - 1.$ 对于 $N_{0} > 0$ 与 $t \geq 0$ ，分母始终为正：当 $N_{0} \leq K$ 时 $A \geq 0$ ；当 $N_{0} > K$ 时 $- 1 < A < 0$ ，所以分母至少大于等于 $1 + A = K / N_{0} > 0$ 。因此解在所有未来时间存在，并趋于 $K$ 。

验证也可以直接完成。求导得 $N^{'} = K r A e^{- r t} / (1 + A e^{- r t})^{2}$ ；而 $r N (1 - N / K)$ 化简成完全相同的式子，初值也满足。若 $N_{0} = K$ ，取 $A = 0$ 得到常值解；若 $N_{0} = 0$ ，公式中出现除零，必须单独保留 $N \equiv 0$ 。在分离变量时除以 $N (K - N)$ 已经暂时排除了两个平衡状态，最后补检不可省略。

这套教材模型与解法可见 OpenStax，§4.4。本文取非负状态与未来时间；负数解不作种群解释。

从100增长到500，再到900

沿用开头的教学参数，取 $K = 1000$ 、 $r = 0.4$ 每天、初值 $N_{0} = 100$ ，则 $A = 9$ ，所以 $N (t) = \frac{1000}{1 + 9 e^{- 0.4 t}} .$ 达到承载量一半时，令 $N = 500$ ，得到 $9 e^{- 0.4 t} = 1$ ，故 $t = \log 9 / 0.4 \approx 5.493$ 天。达到 900 时， $1 + 9 e^{- 0.4 t} = 10 / 9$ ，因此 $e^{- 0.4 t} = 1 / 81$ ，得到 $t = \log 81 / 0.4 \approx 10.986$ 天。

从 100 到 500 与从 500 到 900 的时间在本例恰好相等，这来自洛吉斯蒂曲线围绕拐点的对称结构，而不是说任意两个同样数量增量都花相同时间。若要求恰好达到 1000，式子要求指数项为零，这在有限时间内不会发生；实际报告中的“达到容量”通常需要预先规定误差范围或阈值。

与同参数的指数模型比较，在 10 天时指数预测为 $100 e^{4} \approx 5459.8$ ，已经远超承载量；洛吉斯蒂预测约为 $858.49$ 。二者差别来自增长率假设，不是同一方程的两种近似解。

初始数量超过承载量时

仍取 $K = 1000, r = 0.4$ ，但初值改为 1500。此时 $A = - 1 / 3$ ，解为 $N (t) = \frac{1000}{1 - \frac{1}{3} e^{- 0.4 t}} .$ 在所有 $t \geq 0$ 上，分母从 $2 / 3$ 增加到 1，数量从 1500 单调下降到 1000。5 天后约为 $1047.24$ 。方程中的负增长解释的是净减少，而不是数量变成负数。

该轨迹在未来没有拐点式的先加速增长阶段，也不呈通常展示的完整 S 形。解的形状还取决于初值。若从低于一半承载量的初值出发，才能在未来看见先加速后减速的增长全过程。

拐点与最大增长量从哪里得到

对方程再求导，使用链式法则： $N^{″} = r N^{'} (1 - \frac{2 N}{K}) .$ 在增长区间 $0 < N < K$ 内， $N^{'} > 0$ ，因此 $N < K / 2$ 时曲线上凹、 $N > K / 2$ 时下凹，拐点发生在 $N = K / 2$ 。总增长率也可直接配方： $F (N) = \frac{r K}{4} - \frac{r}{K} {(N - \frac{K}{2})}^{2} .$ 因此最大瞬时增长率为 $r K / 4$ ，在半容量时取得。这里最大的是总增长量，而人均增长率一直随数量增加而下降，两者不冲突。

对 $0 < N_{0} < K / 2$ ，未来拐点时刻为 $t_{*} = (1 / r) \log (K / N_{0} - 1)$ 。若初值已经在 $K / 2$ 之上，这个公式给出负值，表示相应拐点属于向过去延拓的轨迹，并未发生在从初始时刻开始的观测区间。计算时必须解释时间原点。

令无量纲变量 $x = N / K$ 、 $τ = r t$ ，方程化为 $d x / d τ = x (1 - x)$ 。容量只设定纵向尺度，增长率只设定时间尺度，初始比例决定具体轨迹。这个化简有助于比较不同单位、不同规模的模型，也是量纲分析与微分方程结合的例子。

下图左侧横轴是时间，曲线高度是数量；右侧横轴则是数量，曲线高度是增长率。两个金点描述同一个阶段：数量达到500时，左图最陡，右图达到最高点100。数量100与900的增长率同为36，对应右图两个粉点；数量相差很大，增长速度却可以相同。

左图为从一百增长到一千的洛吉斯蒂时间曲线，右图为增长率随数量变化的抛物线，半容量五百时对应最大增长率一百 — 区分“数量随时间变化”与“增长率随数量变化”，便能看出S形曲线拐点的来源。

从观测中估计增长率与承载量

当所有观测都满足 $N ≪ K$ 时，方程近似为 $N^{'} \approx r N$ 。早期数据可能足以估计增长率，却难以区分很大的不同 $K$ ，因为相应曲线在这段时间几乎重合。一个拟合软件给出承载量数值，并不意味着数据已经精确识别这个参数。

如果 $K$ 已知且数据位于 $0 < N < K$ ，解公式可转为 $\log \frac{N (t)}{K - N (t)} = r t + \log \frac{N_{0}}{K - N_{0}} .$ 变换后的量与时间线性相关，可以帮助诊断模型。可是观测误差经过对数与分母变换后会改变分布，在接近 0 或 $K$ 时还可能被明显放大。因此不能不加检查地把变换后最小二乘的统计假设，等同于原始计数误差的假设。

连续模型与离散迭代不能混为一谈

对无量纲方程采用显式欧拉法，以无量纲步长 $a = r h$ 推进，得到 $x_{n + 1} = x_{n} + a x_{n} (1 - x_{n}) .$ 这是连续方程的一个数值近似。对平衡 $x = 1$ ，迭代映射的导数为 $1 - a$ ，所以局部数值稳定要求 $0 < a < 2$ 。步长过大时，离散序列可能出现超调或不稳定，而原连续正解始终单调趋向平衡。

离散的洛吉斯蒂映射 $x_{n + 1} = λ x_{n} (1 - x_{n})$ 是另一个模型；本文连续方程的正轨迹单调趋向承载量。

模型还不包含随机灭绝。当数量很小，个体离散性与出生死亡随机性可能重要；连续正初值的确定性轨迹不会自行到达零，但真实小种群可以灭绝。这是状态表示和随机假设的边界，不是求解公式中漏算了某个常数。

增加恒定采收后的阈值

在原模型上加入每单位时间固定移出的数量 $H \geq 0$ ，可得到一个相关但不同的方程 $N^{'} = r N (1 - N / K) - H$ 。利用前面的配方，平衡点存在的条件是 $H \leq r K / 4$ 。当 $0 \leq H < r K / 4$ 时，有两个平衡数量 $N_{\pm} = \frac{K}{2} (1 \pm \sqrt{1 - \frac{4 H}{r K}}) .$ 较小的平衡点不稳定，较大的平衡点稳定；两者之间增长为正，低于较小平衡点时增长为负。这个阈值结构说明，即使长期采收量低于最大自然增长量，过低的初始数量仍可能无法恢复。

临界情形 $H = r K / 4$ 时，两平衡点合为 $K / 2$ ，右端为 $- (r / K) (N - K / 2)^{2}$ 。从上方出发会下降并趋向它；从下方出发则继续下降，因此临界平衡只从一侧吸引。

若 $H > r K / 4$ ，采收超过了任何状态下的最大自然增长，右端始终为负。方程会把数量向零推动，而继续按同一常数采收可能进一步产生负值；这时必须在零处停止原模型或另加状态约束。现实中不能从空种群移出固定数量，数学式也不会自动知道这一限制。

容量估计与环境改变的区别

在固定参数模型中，承载量是长期平衡的参数，但未必可以从一次观测最大值直接读取。短期超载状态仍可回落，早期未接近饱和的记录也可能完全低于真正的模型容量。因此观测到的最大值、拟合得到的参数、生态机制允许的资源水平，是三种不同概念。

如果环境在某时刻改变，使容量由 $K_{1}$ 跳到 $K_{2}$ ，可以在改变前后分别使用相应方程，并让状态连续接合。数量不会因为参数变化瞬间自动等于新容量；它从当前状态按新的增长规律调整。若新容量比当前数量低，模型预测下降，这与原来仍增长的趋势可以相反。

同样，增长率 $r$ 改变通常调整时间尺度，而改变容量还会影响轨迹的目标水平。比较政策或环境情景时，必须交代究竟改动了哪个参数，不宜把所有干预都画成“曲线更快或更慢”而忽略平衡水平。

历史：Verhulst 的人口模型

比利时数学家皮埃尔-弗朗索瓦·韦吕尔斯特（Pierre-François Verhulst）在 1838 年发表人口增长研究，提出用增长抑制修正指数增长的微分方程。后来他又研究该模型并使用 logistic 名称。这个起点和后续工作可在圣安德鲁斯大学 MacTutor 的 Verhulst 传记核验。

今天常用的r、K参数分别突出增长速度与容量。统计学中的logistic回归也使用相关的S形函数，用于描述条件概率，是另一种应用。

来源与继续阅读

OpenStax，《Calculus Volume 2》§4.4：连续洛吉斯蒂方程、解与承载量。
Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§1.6：自治方程与相线。
MacTutor：Pierre François Verhulst：1838 年及后续历史研究。
先修：导数、微分方程；相关：一阶线性微分方程、数学建模、量纲分析、最小二乘法。