导数

导数描述函数在某一点的瞬时变化率。对实函数 $f$，如果差商有有限极限，定义 $$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$ 此时称 $f$ 在 $a$ 可导。导数也表示函数图像在该点的切线斜率；若输入是时间、输出是位置，它的单位就是长度除以时间。

从割线走向切线

差商是两点间的平均变化率。令第二个点向第一个点靠近，若割线斜率趋向同一个有限数，就得到导数。

对 y=x²，割线斜率为 3，点 (1,1) 处切线斜率为 2；二者描述不同尺度的变化。

例如 $f(x)=x^2$，直接由定义计算： $$\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}=2a+h(h\ne 0),f^{\prime }(a)=2a.$$ 在 $a=1$ 处导数为 2，因此切线方程是 $y-1=2(x-1)$。从 1 到 2 的平均变化率却是 3；平均速率不能直接当成端点处的瞬时速率。

导数给出局部线性近似

可导等价于存在展开式 $$f(a+h)=f(a)+f^{\prime }(a)h+o(h),$$ 其中余项 $o(h)$ 除以 $h$ 后趋于 0。这比“切线碰到曲线”更精确：当增量足够小时，一次函数给出主导变化。

例如 $\sqrt{4.04}\approx 2+\frac{1}{4}\times 0.04=2.01$。这里使用 $f^{\prime }(4)=1/4$，近似适用于 4 附近，不能把同一条切线当成整个平方根函数。对 $x^2$，一次近似的误差恰好是 $h^2$。

运算法则及一个复合例子

在相关函数可导、分母非零的点，有 $$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime },\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}.$$ 复合函数遵循链式法则： $$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x).$$ 例如对 $y=\sin (x^2)$，先对外层正弦求导，再乘以内层平方的导数，得到 $y^{\prime }=2x\cos (x^2)$。只写 $\cos (x^2)$ 会漏掉内部变量变化的速度。三角函数的这些导数公式采用弧度制。

连续不一定可导

可导必连续：由差商趋于有限数可得 $f(a+h)-f(a)\to 0$。反过来不成立。$f(x)=|x|$ 在 0 连续，但左差商为 −1，右差商为 1，所以没有导数。

某一点 $f^{\prime }(a)=0$ 也不保证该点是极值。$f(x)=x^3$ 在 0 的导数为 0，却穿过原点继续增加。内点可导的局部极值必须满足导数为零，但这是必要条件而非充分条件；端点或不可导点也可能取得极值。

从点的斜率到区间的变化

若函数在区间内处处可导且导数始终为正，则由中值定理可知它在该区间严格递增。单独知道某一点导数为正，不足以断言整个区间递增。

在 优化 中，导数用于寻找驻点并分析增长方向；在 微分方程 中，未知函数与其变化率构成约束。具体应用还需要考虑定义域、单位和边界条件。

延伸阅读

• OpenStax，《Calculus Volume 1》§3.1：导数与差商。
• 极限 · 积分 · 优化