柯布-道格拉斯生产函数

柯布—道格拉斯生产函数（Cobb–Douglas production function）把产出表示为几种投入的幂之积。两投入形式常写作 $Q = A K^{α} L^{β}$ ，其中 $K, L > 0$ 分别是资本与劳动投入， $A > 0$ 为技术或尺度参数，指数 $α, β > 0$ 。这是一个在给定技术、计量口径下研究投入与产出关系的模型；指数需要由理论设定或数据估计，不是数学公式自行给出的常数。

同一产出由两种投入共同决定

设 $Q = 2 K^{0.4} L^{0.6}$ ，为便于演算， $K, L$ 取按固定单位衡量的正数。 $K = L = 100$ 时， $Q = 2 \times 10 0^{0.4 + 0.6} = 200$ 件／期。固定劳动，只将资本从 100 加倍到 200，产出变为 $200 \times 2^{0.4} \approx 263.90$ ，没有翻倍；这不是投入“无效”，而是劳动仍保持原样。

若目标产出为 200，代入函数并整理，得到等产量线上各点满足 $K^{0.4} L^{0.6} = 100, L = {(\frac{100}{K^{0.4}})}^{1 / 0.6} .$ 图中向右增加 $K$ 的同时，可以减少 $L$ 并保持相同产量。等产量线说明模型允许投入间替代；它尚未给出哪一点成本最低，因为还没有说明资本和劳动的价格。

横轴资本K纵轴劳动L，三条向右下方弯曲的等产量线，标出K与L都为一百时产出二百 — 沿同一曲线移动只变投入组合，不变模型中的产出。不同曲线代表不同产出水平。

边际产出与弹性

固定劳动 $L$ ，只让资本增加一小量，资本的边际产出是 $\frac{\partial Q}{\partial K} = α A K^{α - 1} L^{β} = α \frac{Q}{K} .$ 本例在 $(K, L) = (100, 100)$ 处为 $0.4 \times 200 / 100 = 0.8$ 件／每单位资本；同理劳动边际产出 $\partial Q / \partial L = β Q / L = 1.2$ 件／每单位劳动。它们是该点附近的局部变化率，不是增加任意大数量时产出的精确差额；刚才资本加倍的实际增量约 63.90，而用起点导数乘增加的 100 会得到 80。

对正投入取对数， $\ln Q = \ln A + α \ln K + β \ln L$ 。固定 $L$ 时两边对 $\ln K$ 求导，得 $\partial \ln Q / \partial \ln K = α$ 。因此 $α$ 是资本投入的产出弹性：资本在附近变化 1%，产出约变化 $α %$ 。这里“约”来自微分近似；例如加倍时必须用 $2^{α}$ 算精确因子。

规模报酬与参数拟合

把资本和劳动同时放大 $t > 0$ 倍，直接代回： $Q (t K, t L) = A (t K)^{α} (t L)^{β} = t^{α + β} Q (K, L) .$ 所以 $α + β = 1$ 为规模报酬不变，和大于 1、小于 1 分别对应规模报酬递增、递减。本例两者都加倍， $Q$ 从 200 变成 400。规模报酬比较的是所有可变投入一同扩张；前节固定劳动时的资本边际产出递减，与此不矛盾。

给定产量下的成本选择

等产量线上还有许多可行的 $(K, L)$ 组合。若一单位资本的价格为 $r$ 、一单位劳动的价格为 $w$ ，总成本是 $r K + w L$ 。沿等产量线移动一点，产出变化为 $d Q = Q_{K} d K + Q_{L} d L = 0$ ，因而 $d L / d K = - Q_{K} / Q_{L}$ 。在内点最优处，等成本线斜率 $- r / w$ 与这条斜率相同，即 $\frac{Q_{K}}{Q_{L}} = \frac{r}{w}, \frac{K}{L} = \frac{α w}{β r} .$ 第二式由 $Q_{K} = α Q / K$ 、 $Q_{L} = β Q / L$ 代入并交叉相乘得到。对本例取 $r = 2, w = 1$ 且要求 $Q = 200$ ，就有 $K / L = 1 / 3$ 。把 $K = L / 3$ 代回 $2 K^{0.4} L^{0.6} = 200$ ，得到 $L = 100 3^{0.4} \approx 155.18$ 、 $K \approx 51.73$ ，成本约 258.64；原来 $K = L = 100$ 的组合虽也产出 200，成本却是 300。这个切线条件在正价格、正投入和所画凸向原点的等产量线下给出内点解；若还有产能、整数或固定开机成本，须另行核查可行边界。

取对数后的线性式可以用回归估计 $\ln A, α, β$ ，前提是投入、产出为正且误差与测量口径合适。产业数据常有技术变化、投入质量差异和投入量由预期产出决定的内生性；只凭一条拟合直线不能断言系数是因果贡献。模型由 Charles W. Cobb 与 Paul H. Douglas 在 1928 年的产出研究中推广为经典形式。

参考与延伸