数列的极限

数列（sequence）是按正整数编号的一串数，例如 $a_{n} = 1 - 2^{- n}$ 给出 $1 / 2, 3 / 4, 7 / 8, \dots$ 。谈数列的极限，不是问某一项是否等于目标，而是问从足够靠后的某项起，是否所有项都能保持在目标附近。

对上面的数列，每增加一项，离 1 的差距就减半： $| a_{n} - 1 | = 2^{- n}$ 。前面任何有限项都小于 1，但差距最终可以比任意给定的正数还小，因此记 $a_{n} \to 1$ 。

从零到一的线段依次涂出二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一，标出部分和逐步靠近一 — 第 n 步末端距一仍有二的负 n 次方；图能看见趋势，精确误差由公式给出。

“足够靠后”的精确定义

对实数列 $(a_{n})$ 和实数 $L$ ，定义 $a_{n} ⟶ L ⟺ 对每个 ε > 0, 存在整数 N, 使所有 n \geq N 都满足 | a_{n} - L | < ε .$ 先由读者指定精度 $ε$ ，再选起点 $N$ ；从那里往后的所有项都要符合。仅有无限多个项接近 $L$ 还不够，因为夹在其中的其他项可能一直远离。

对 $a_{n} = 1 - 2^{- n}$ ，只需取整数 $N$ 满足 $2^{- N} < ε$ 。因 $2^{- n}$ 随 $n$ 增大而减小，所有 $n \geq N$ 都有 $| a_{n} - 1 | \leq 2^{- N} < ε$ 。这比“数值表看上去靠近 1”多给出一个保证。

再看 $b_{n} = (3 n + 1) / (n + 2)$ 。把式子改写成 $b_{n} = 3 - \frac{5}{n + 2}, | b_{n} - 3 | = \frac{5}{n + 2} .$ 给定 $ε > 0$ ，选 $N > 5 / ε - 2$ 即可证明 $b_{n} \to 3$ 。拆出“目标 + 误差”常比直接盯着分式更容易决定 $N$ 。

有界、单调与收敛

前面的 $a_{n}$ 递增，且始终小于 1。单调有界定理说：实数中，单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列也必收敛。它保证极限存在，却不一定直接给出极限是多少。

以递增情形说明理由。设 $L$ 是所有项的上确界。按上确界的定义，对于任意 $ε > 0$ ，一定有一项 $a_{N} > L - ε$ ，否则 $L - ε$ 就已经是更小的上界。因为数列递增，所有 $n \geq N$ 都满足 $L - ε < a_{N} \leq a_{n} \leq L .$ 因此 $| a_{n} - L | < ε$ ，符合极限定义。证明真正用到的是实数的上确界性质；若只在有理数中工作，单调有界序列的极限可能不是有理数。

“有界”本身不够： $c_{n} = (- 1)^{n}$ 永远在 $[- 1, 1]$ ，却在 $- 1$ 与 1 间来回跳动，不趋向单个数。“单调”本身也不够： $d_{n} = n$ 递增但无上界，不趋向有限实数。

递推式给出的数列

不是每个数列都先有显式公式。令 $u_{0} = 0$ ，并按 $u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 2}{3}$ 更新。前几项为 $0, 2 / 3, 8 / 9, \dots$ 。若极限存在且为 $L$ ，把两边取极限得到 $L = (L + 2) / 3$ ，候选值为 1；但仅解这个方程不能证明数列收敛。

从递推式减去 1，得到 $u_{n + 1} - 1 = (u_{n} - 1) / 3$ 。起初误差为 $- 1$ ，所以归纳可得 $u_{n} = 1 - 3^{- n}$ 。误差趋零，才完成收敛证明。差分方程模型研究更多这类更新与稳定性问题。

数列与级数不是同一个对象

数列 $a_{n} = 1 / n$ 收敛于零；但把各项相加所得的 $1 + 1 / 2 + 1 / 3 + \dots$ 并不收敛。无穷级数研究的是部分和数列，不能只检查每一项是否趋零。另一方面，图中 $1 - 2^{- n}$ 恰好是 $1 / 2 + 1 / 4 + \dots + 2^{- n}$ 的部分和；同一张图因而可以从“数列极限”和“级数求和”两种角度阅读。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 2，§5.1 Sequences：数列极限与单调有界定理。
同书 §5.2 Infinite Series：以部分和数列定义级数。
继续阅读：极限、无穷级数、差分方程模型。