平面向量基本定理与坐标表示

在平面上，只要选取两个不共线的方向，每个向量都可以而且只能按一种方式写成它们的线性组合。这是平面向量基本定理。日常的“向东几格、向北几格”使用了互相垂直的两个方向；换成两条斜方向也能表示同一位移，只是系数会改变。

两个方向为何足够且唯一

固定非零且不共线的 $𝐞_{1}, 𝐞_{2}$ 。把待表示向量 $𝐯$ 的起点与它们放到一起，从 $𝐯$ 的终点分别画平行于两个基方向的直线，形成平行四边形。沿两边的有符号倍数给出 $𝐯 = x 𝐞_{1} + y 𝐞_{2} .$ 如果还可写成 $x^{'} 𝐞_{1} + y^{'} 𝐞_{2}$ ，相减得 $(x - x^{'}) 𝐞_{1} = - (y - y^{'}) 𝐞_{2}$ 。若其中一个系数不为零，就会说两个基向量共线，与选取条件冲突；故 $x = x^{'}$ 、 $y = y^{'}$ 。图上的平行线负责构造，非共线性负责唯一性。

两个不共线的斜基向量张成平行四边形，目标向量由沿两条基方向的有符号分量相加得到 — 两条基方向不必垂直；同一目标向量在不同基下有不同系数。

例如在通常的 $x y$ 坐标中取 $𝐞_{1} = (1, 0)$ 、 $𝐞_{2} = (1, 1)$ ，要表示 $𝐯 = (2, 3)$ ，则 $x 𝐞_{1} + y 𝐞_{2} = (x + y, y)$ 。由 $y = 3$ 、 $x + y = 2$ 得 $x = - 1$ ，所以 $𝐯 = - 𝐞_{1} + 3 𝐞_{2}$ 。负系数表示沿第一方向的反向，并不表示向量“有负长度”。

直角坐标把运算变成逐项计算

取长度为 1 的水平、竖直基向量 $𝐢 = (1, 0)$ 、 $𝐣 = (0, 1)$ ，它们互相垂直。向量 $𝐮 = x 𝐢 + y 𝐣$ 的坐标记作 $(x, y)$ 。由线性运算直接得到 $(x_{1}, y_{1}) + (x_{2}, y_{2}) = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}), t (x, y) = (t x, t y) .$ 从点 $A = (2, - 1)$ 到 $B = (5, 3)$ 的向量是 $\vec{A B} = B - A = (3, 4)$ ，长度 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ 。把点的坐标直接当成这段位移会忘记减起点。

由于 $𝐢 \cdot 𝐢 = 𝐣 \cdot 𝐣 = 1$ 、 $𝐢 \cdot 𝐣 = 0$ ，展开两线性组合并消去交叉项，便有 $(x_{1}, y_{1}) \cdot (x_{2}, y_{2}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} .$ 例如 $(3, 4) \cdot (4, - 3) = 12 - 12 = 0$ ，两个非零向量垂直。若仍用上面的斜基 $𝐞_{1}, 𝐞_{2}$ ，不能直接把其系数相乘相加当作数量积，因为 $𝐞_{1} \cdot 𝐞_{2} \neq 0$ ；逐项公式依赖正交单位基。

练习： $A = (- 1, 2)$ 、 $B = (2, 6)$ ，求 $\vec{A B}$ 及其长度。逐坐标相减得 $(3, 4)$ ，长度为 5。若从 $B$ 回到 $A$ ，向量变为 $(- 3, - 4)$ ，长度仍为 5。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1：平面分量与正交坐标。
继续阅读：平面向量的概念与运算、平面向量的几何与物理应用、基与维数。