平面向量的概念与运算

平面向量同时记录大小和方向。地图上的“向东三格、向北一格”是一段位移；把它平移到地图别处，位移没有改变。用箭头表示时，长度表示大小，箭头方向表示方向；箭头的起点位置不是向量自身的一部分。

从两点之间的位移定义向量

记从点 $A$ 指向点 $B$ 的向量为 $\vec{A B}$ 。在直角坐标系中，若 $A = (1, 2)$ 、 $B = (4, 3)$ ，则 $\vec{A B} = (3, 1)$ 。另一对点 $C = (0, 0)$ 、 $D = (3, 1)$ 给出相同的向量：两个箭头等长、同向。起点与终点相同得到零向量 $𝟎$ ，长度为零而方向不确定。

两个非零向量方向相同或相反时称共线。若 $𝐯 \neq 𝟎$ ， $𝐮$ 与 $𝐯$ 共线当且仅当存在实数 $t$ 使 $𝐮 = t 𝐯$ ； $t > 0$ 同向， $t < 0$ 反向， $t = 0$ 则得到零向量。按这个代数约定，零向量与任意向量共线；由于零向量没有确定方向，它不参与夹角的定义。

沿两段路走与向回走

设 $A = (0, 0)$ 、 $B = (3, 1)$ 、 $C = (4, 4)$ 。先走 $\vec{A B} = (3, 1)$ ，再走 $\vec{B C} = (1, 3)$ ，总位移是 $\vec{A B} + \vec{B C} = (4, 4) = \vec{A C} .$ 这叫三角形法则。把两个箭头放在共同起点，它们张成平行四边形，对角线还是同一个和。两段位移交换先后次序，最终位移不变；坐标上也有 $(u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}) = (v_{1} + u_{1}, v_{2} + u_{2})$ 。

两个位移箭头首尾相接得到总位移，同起点放置时平行四边形对角线表示同一个和 — 首尾相接读行走顺序；同起点读平行四边形。两种画法得到同一向量。

减法定义为 $𝐮 - 𝐯 = 𝐮 + (- 𝐯)$ 。若 $𝐮 = \vec{O A}$ 、 $𝐯 = \vec{O B}$ 共起点，则 $𝐮 - 𝐯 = \vec{B A}$ ：从 $𝐯$ 的终点指向 $𝐮$ 的终点。上例中 $\vec{A C} - \vec{A B} = \vec{B C} = (1, 3)$ ，这也可由坐标逐项相减核对。

缩放与数量积

实数 $t$ 乘向量 $𝐮 = (u_{1}, u_{2})$ 得 $t 𝐮 = (t u_{1}, t u_{2})$ ，长度乘 $| t |$ 。例如 $- 2 (3, 1) = (- 6, - 2)$ ，长度翻倍且反向。坐标逐项计算还给出 $t (𝐮 + 𝐯) = t 𝐮 + t 𝐯$ 。

两个平面向量的数量积是数而不是向量： $𝐮 \cdot 𝐯 = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} = | 𝐮 | | 𝐯 | \cos θ,$ 其中 $θ$ 是两个非零向量的夹角。以 $𝐮 = (3, 1)$ 、 $𝐯 = (1, 3)$ 为例，数量积为 6，长度各为 $\sqrt{10}$ ，故 $\cos θ = 6 / 10 = 3 / 5$ 。几何式可由余弦定理说明：把两向量放在同一起点，坐标展开 $| 𝐮 - 𝐯 |^{2} = | 𝐮 |^{2} + | 𝐯 |^{2} - 2 𝐮 \cdot 𝐯$ ；余弦定理对同一三角形给出末项 $- 2 | 𝐮 | | 𝐯 | \cos θ$ 。两式比较即得。

试算 $(2, - 1) + (1, 4) = (3, 3)$ ，而 $(2, - 1) \cdot (1, 4) = - 2$ 。前者仍是位移，后者是带符号的数；相同的一对向量做不同运算，结果类型也不同。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1：平面向量的几何与坐标运算。本文坐标路线和例题独立编写。
继续阅读：平面向量基本定理与坐标表示、向量的内积、平面向量的几何与物理应用。