超几何分布

超几何分布描述有限总体中不放回地抽取固定数量，数出抽中的标记对象有多少。设总体有 $N \geq 1$ 个互不相同的对象，其中 $K$ 个标记、 $N - K$ 个未标记；从中等可能地选出 $n$ 个，要求 $0 \leq K, n \leq N$ 。令 $X$ 为样本中的标记数，则 $P (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}, max (0, n - N + K) \leq k \leq min (n, K) .$ 超出这个整数范围的概率为零。下界表示样本太大时即使尽量选未标记，也不得不选若干标记；上界既不能超过样本大小，也不能超过总体中的标记数。

组合数逐项从哪里来

离散型随机变量的分布列里， $N = 5, K = 2, n = 2$ 。全部样本是 $(\binom{5}{2}) = 10$ 个两卡组合。恰有一张标记，须从两张标记卡中选一张、从三张未标记卡中选一张，分子 $(\binom{2}{1}) (\binom{3}{1}) = 6$ ，概率 $6 / 10$ 。对 $k = 0, 1, 2$ 逐一计算，得到 $3 / 10, 6 / 10, 1 / 10$ ，其和为 1。

也可以先看事件顺序：首抽标记、次抽未标记的概率是 $(2 / 5) (3 / 4) = 3 / 10$ ；反过来先未标记、再标记也是 $(3 / 5) (2 / 4) = 3 / 10$ 。相加得 6/10。这与组合算法一致，但第二次的分母已经变成 4，体现“不放回”改变了下一步的条件概率。

均值与有限总体修正

令 $I_{j}$ 表示第 $j$ 次抽取是否标记， $X = I_{1} + \dots + I_{n}$ 。由于抽取顺序对称，每个位置抽中标记的边际概率都是 $p = K / N$ ，因此 $E (X) = n p = n K / N .$ 期望的可加性不需要各次独立。对上面的五卡例子，均值 $2 (2 / 5) = 0.8$ ，与分布列直接相加吻合。

方差则会受到不放回的影响。对两个不同位置 $i, j$ ，同时抽中标记的概率为 $K (K - 1) / [N (N - 1)]$ ，所以 $Cov (I_{i}, I_{j}) = \frac{K (K - 1)}{N (N - 1)} - {(\frac{K}{N})}^{2} = - \frac{p (1 - p)}{N - 1} (N > 1) .$ 负协方差意味着已抽中一个标记后，余下位置抽中的机会降低。把 $X$ 的方差展开为 $n$ 个自身方差与 $n (n - 1)$ 个有序交叉项，得到 $Var (X) = n p (1 - p) \frac{N - n}{N - 1} (N > 1) .$ 其中 $(N - n) / (N - 1)$ 称为有限总体修正因子。本例方差 $2 (2 / 5) (3 / 5) (3 / 4) = 0.36$ 。若 $N = 1$ ，抽样数只能为 0 或 1， $X$ 确定，方差直接为零，不用含 $N - 1$ 的式子。

与二项分布并排看

如果每次抽完放回并重新混匀，2 次结果独立，每次标记概率固定 $p = 2 / 5$ ，则标记数服从 $Bin (2, 2 / 5)$ 。此时 $P (X = 0, 1, 2)$ 分别为 $0.36, 0.48, 0.16$ ；不放回的超几何概率为 $0.30, 0.60, 0.10$ 。图中两组柱共用纵轴，可以看到不放回时中间值更集中；方差也从二项模型的 0.48 降至 0.36。

零一二三个抽中数下并列显示超几何与二项概率，超几何为零点三、零点六、零点一，二项为零点三六、零点四八、零点一六 — 相同 N、K、n 下，不放回的中间柱较高、两端较低；两模型的均值同为 0.8。

当 $n$ 相对于 $N$ 很小，抽走少量对象不大改变总体比例，二项模型可能给出近似；但此处样本占总体 $2 / 5$ ，把两种机制混用会明显改变两端概率。是否近似足够好还应按目标事件核对，不能只用“样本很小”一句话代替。

试算。盒中有 8 件产品，其中 3 件带标记，不放回取 3 件，恰得 2 件标记的概率为 $(\binom{3}{2}) (\binom{5}{1}) / (\binom{8}{3}) = 15 / 56$ 。这里不能乘上 $3!$ ，因为分子和分母都已经按无序三件组计数。

参考资料

Penn State STAT 414，第 7 课：超几何分布与取值范围。
Penn State STAT 414，第 8 课：均值与方差。