环面

环面是一类具有一个“孔”的曲面。最直观的模型是把平面上的圆绕同平面内、且不与这个圆相交的轴旋转一周，得到类似圆环的形状。

参数表示

设大半径 $R$ 与小半径 $r$ 满足 $R > r > 0$ 。标准旋转环面的参数方程为

定理 · 环面的参数表示

\begin{matrix} x & a m p; = (R + r \cos θ) \cos φ, \\ y & a m p; = (R + r \cos θ) \sin φ, \\ z & a m p; = r \sin θ . \end{matrix}

其中 $0 \leq θ, φ < 2 π$ 。

角度 $θ$ 描述管截面上的位置，角度 $φ$ 描述沿大圆环绕的位置。固定其中一个角度、改变另一个角度，就能画出两族参数曲线。

标准旋转环面的表面积和它所围成的实体体积分别为

$S = 4 π^{2} R r, V = 2 π^{2} R r^{2} .$

表面积也可以理解为小圆周长 $2 π r$ 与大圆周长 $2 π R$ 的乘积。

在拓扑学中，环面可以表示为两个圆的乘积 $S^{1} \times S^{1}$ 。也可以从一个正方形出发，把两组相对的边分别按照方向粘合，得到相同的拓扑结构。