万有引力常数

万有引力常数（Newtonian constant of gravitation）记作 $G$，决定牛顿引力定律中力的尺度。对于可视为质点的两个物体，质量分别为 $m_1,m_2$、中心距离为 $r$，引力大小为 $$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}.$$ 两物体相互吸引，作用力沿连接它们的直线。此式适用于质点；球对称物体在其外部也可按质量集中于球心来计算。

距离翻倍，引力剩四分之一

假设两个质量都是 $1\mathrm{k}\mathrm{g}$ 的小物体，中心相距 $1\mathrm{m}$，代入 NIST 推荐值 $G=6.67430(15)\times 10^{-11}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$，得到 $$F=(6.67430\times 10^{-11})\frac{1\times 1}{1^2}\mathrm{N}\approx 6.6743\times 10^{-11}\mathrm{N}.$$ 若质量不变、距离变为 $2\mathrm{m}$，分母变成四倍，力约为 $1.6686\times 10^{-11}\mathrm{N}$。图中的 $F_0$ 是距离为 $r_0$ 时的力；在 $2r_0$ 和 $3r_0$ 处分别为 $F_0/4$ 和 $F_0/9$。

图把质量固定，只改变距离；曲线下降来自分母中的距离平方。

单位与地表重力

由 $F=G{m}_1{m}_2/r^2$ 解出 $G$ 的单位：$\mathrm{N}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}/\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{2}}={\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}$。若地球近似球对称，地表附近质量为 $m$ 的物体受到 $F\approx G{M}_{\oplus }m/R_{\oplus }^2$，所以当地的重力加速度约为 $g=G{M}_{\oplus }/R_{\oplus }^2$。$G$ 是定律中的常数；$g$ 随所在天体、位置和高度变化，两者不能混用。

同一个式子还能解释圆轨道的速度。设质量 $m$ 的小卫星绕质量 $M$ 的近似球形天体，在半径 $r$ 的圆轨道上运动。所需向心力是 $m{v}^2/r$；把它与引力 $GMm/r^2$ 相等，消去卫星质量 $m$ 和一个 $r$： $$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}⟹v=\sqrt{\frac{GM}{r}}.$$ 在中心天体质量相同的前提下，把轨道半径从 $r$ 变为 $2r$，速度从 $v$ 变为 $v/\sqrt{2}$。再用一圈路程 $2\pi r$ 除以速度，可得周期平方关系 $T^2=4{\pi }^2{r}^3/(GM)$。这是牛顿定律通向开普勒第三定律的一条计算路径；它假设圆轨道、忽略其他天体扰动，也没有处理强引力相对论效应。

数值的不确定度与适用范围

NIST 写作 $6.67430(15)\times 10^{-11}$，意思是推荐值的标准不确定度为 $0.00015\times 10^{-11}$。与被 SI 定义精确固定的真空光速不同，$G$ 仍需通过实验测量。牛顿公式在太阳系多数日常计算中很有用；当引力场很强或需要很高精度时，应使用广义相对论，不能把此式当作全部引力现象的完整描述。

牛顿在引力定律中用一个比例系数连接质量、距离与力；确定这个系数的数值则要测量极弱的物体间引力。卡文迪许 1798 年用扭秤观察铅球之间的吸引，使这种地面测量成为可能。扭丝转过很小的角度，便可从已知质量、距离和力矩关系反推引力尺度。这段历史也说明 $G$ 的数值来自精密实验，而不是从平方反比的形式单独算出来。

参考资料

• NIST SP 961，2022 CODATA 常数表，$G$ 的推荐值与不确定度。
• NIST，基本物理常数数据库。
• NIST，常数测量史，卡文迪许扭秤实验。
• 相关：基本物理常数、宇宙学常数、量纲分析。