核密度估计图

核密度估计图（kernel density estimate plot）把一批连续数值附近的“集中程度”画成一条平滑曲线。曲线的纵坐标是密度，不是一个观测值恰好等于该横坐标的概率；某个区间下方的面积才与该区间所占比例对应。它与直方图都用于观察数值分布，但平滑曲线需要另选一个带宽，因此不是原始数据的唯一画法。

五次等候得到一条曲线

设五次等候分别为 $2, 3, 3, 4, 6$ 分钟。这是一组合成教学数据。在横轴标出五个数时，三分钟处有两个观察值，图下方的两道短刻痕也保留了这个重复。用高斯核作为每个观测附近的平滑小峰，带宽为 $h > 0$ 时，估计密度定义为 ${\hat{f}}_{h} (x) = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} K (\frac{x - x_{i}}{h}), K (u) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- u^{2} / 2}, n = 5.$

$x_{i}$ 是第 $i$ 次等候的分钟数， $h$ 的单位也是分钟。因而 ${\hat{f}}_{h} (x)$ 的单位是“每分钟”；改变时间单位时，曲线的纵坐标数值也相应改变。式中的 $1 / n$ 让五次记录的总权重为一， $1 / h$ 则使小峰加宽时不凭空增加面积。

取 $h = 1$ 分钟，在三分钟处，五个观测的贡献可逐项写出：来自两个三分钟值的是 $2 e^{0}$ ，来自两分钟和四分钟的是 $2 e^{- 1 / 2}$ ，来自六分钟的是 $e^{- 9 / 2}$ 。所以 ${\hat{f}}_{1} (3) = \frac{2 + 2 e^{- 1 / 2} + e^{- 9 / 2}}{5 \sqrt{2 π}} \approx 0.2573 {m i n}^{- 1} .$ 这个数是曲线在三分钟处的高度；不能说“恰好等三分钟的概率为 25.73%”。数据里三分钟确实出现两次，但经验比例 $2 / 5$ 与平滑密度的高度不是同一种量。

同一组2、3、3、4、6分钟等候时间的高斯核密度曲线，金色带宽0.4分钟、浅绿色带宽1分钟、灰色虚线带宽2分钟；底部短线标原始观测，三分钟标两道 — 原始的五次记录没有变化。带宽较小时，局部峰较尖；带宽较大时，曲线变平。横轴单位为分钟，纵轴单位为每分钟；比较曲线形状时应连同带宽一起报告。

面积为一，峰高却没有统一答案

高斯核自身的面积为一。对于上式中的任何一个 $x_{i}$ ，令 $u = (x - x_{i}) / h$ ，就有 $d x = h d u$ 。因此 $\int_{- \infty}^{\infty} {\hat{f}}_{h} (x) d x = \frac{1}{n h} \sum_{i = 1}^{n} h \int_{- \infty}^{\infty} K (u) d u = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} 1 = 1.$ 这也解释了图中 $h = 0.4$ 的峰虽然比 $h = 2$ 的峰高，总面积仍相同。小带宽保留更多局部起伏，也可能把抽样偶然性画成多个峰；大带宽能压低这种起伏，却可能抹去真实的多峰结构。单靠一条平滑曲线，不能判定总体真的有几个峰。

与直方图放在同一坐标上

要把核密度曲线叠在直方图上，直方图的纵轴也须先用密度尺度。若第 $j$ 组含 $n_{j}$ 个值，组宽为 $Δ_{j}$ ，总观测数为 $n$ ，该矩形的高度应取 $n_{j} / (n Δ_{j})$ ，其面积为 $n_{j} / n$ 。把一条面积为一的密度曲线直接叠在“人数”为纵轴的直方图上，曲线与矩形便不在同一尺度上。

曲线在样本最小值之外也可能略高于零，因为高斯核的尾部延伸到整个实数轴。等候时间不可能为负，若数据集中在零附近，这种边界外的曲线尤其值得检查，可考虑边界修正、变量变换或直接展示原始点。此图只有五次记录，适合讲解计算，不足以据此断言实际等候时间的总体分布。

将本例的带宽从 $1$ 改为 $0.4$ 或 $2$ 时，可以在图中找同一横坐标下的三种高度。若研究目的是比较两组等候，先核对两组的样本量、带宽与坐标尺度，再考虑用分面图或原始点辅助阅读。

参考资料

ggplot2：核密度图官方说明，带宽、核函数与分组估计的绘图参数。
NIST/SEMATECH：图形输出与解释，直方图的分箱选择和非参数密度估计的互补作用。
相关：直方图、概率分布、统计图形语法。