经验分布函数图

经验分布函数图（empirical cumulative distribution function，ECDF）把样本中“不超过某个数”的比例画在纵轴。它保留每个观测的位置，不必像直方图那样选组界，也不必像核密度估计图那样选带宽。阶梯的高度描述的是这批记录的累计频率；要推断总体，还须另外说明数据怎样取得。

五次等候怎样形成阶梯

设 A 组五次等候为 $2,3,3,4,6$ 分钟。这是合成教学数据；三分钟出现两次，不能删去其中一次。对任意阈值 $t$，数出五次里有几次不超过 $t$，再除以五： $$F_5(t)=\frac{1}{5}\sum _{i=1}^5\mathrm{𝟏}\{x_i\le t\}.$$ 符号 $\mathrm{𝟏}\{x_i\le t\}$ 在条件成立时等于 1，否则等于 0。比如 $t=3$ 时，2、3、3 三次被计入，故 $F_5(3)=3/5=0.6$；$t=4$ 时再计入 4，得到 $F_5(4)=4/5=0.8$。

在 4 分钟的竖线上读到 0.8，即五次中有四次不超过四分钟。三分钟处一次跳高 0.4，因为同一个数出现两次。

阶梯在数据点处跳到新高度，所以采用右连续画法：$F_5(3)=0.6$，而从 3 的左边靠近时高度仍是 $0.2$。不在任何观测值处，例如 $3<t<4$，累计比例保持 $0.6$。最小值以下为零，最大值及其以上为一。

这一读法还能回答区间问题。要数大于 3 且不超过 6 分钟的观测，用两个累计比例相减： $$\frac{\mathrm{\#}\{3<x_i\le 6\}}{5}=F_5(6)-F_5(3)=1-0.6=\mathrm{0.4.}$$ 这两次恰好是 4 与 6。若问题改成“至少 3 分钟”，端点的归属随之改变，不能仍照搬上式。

从阶梯反读样本分位数

对 $0<p\le 1$，一种明确的样本分位数定义是 $Q_n(p)=inf\{t:F_n(t)\ge p\}$。把图上的水平线设在 $p=0.5$，第一次达到或超过它的横坐标为 3，所以此定义下的中位数是 3 分钟；设在 $p=0.8$，第一次达到的横坐标为 4。等价地，把五个数升序排列，取第 $\lceil np\rceil$ 个数。

这是阶梯反函数的一种约定。某些软件为求样本四分位数采用相邻顺序统计量的插值，因而与此处阶梯反读法可能不同；箱线图的四分位数例子就明确选用了插值约定。报告一个由图读出的分位数时，最好一并说明算法。

在同一阈值比较两组

再设 B 组为 $3,4,4,5,7$ 分钟。对相同的四分钟阈值，A 有 $4/5$ 不超过它，B 有 $3/5$。图中两条阶梯保持同一横纵尺度；四分钟处的竖向差 $0.8-0.6=0.2$ 表示本例的样本累计比例差，也就是五条记录中的一次之差。

两组各有五次记录，四分钟阈值处分别有四次和三次未超过阈值。图上的竖向差是累计比例差，不是平均等候时间之差。

此例 A 的每个顺序统计量都不大于 B 的对应值，所以图中 A 的阶梯始终不低于 B。若两条曲线交叉，“哪组整体更小”便要指定阈值或其他比较标准；不能只看一个位置。这里的每组只有五次，阶梯每跳一次就改变 20 个百分点。图准确描述这十条合成记录，却不足以确定真实候车人群的分布。

若每条记录有调查权重 $w_i>0$，可改画 $\sum _i{w}_i\mathrm{𝟏}\{x_i\le t\}/\sum _i{w}_i$；此时跳高由权重而非单纯人数决定。图注需要写清楚，因为普通 ECDF 默认每次观测权重相同。

参考资料

• ggplot2：经验分布函数，阶梯图、加权累计与显示约定。
• NIST/SEMATECH：累计分布函数，阈值以下比例与累计概率的定义。
• 相关：直方图、核密度估计图、箱线图、统计图。