函数的连续性

函数的连续性（continuity）把函数在某点的取值同该点附近的极限接起来。设 $a$ 是定义域的聚点，函数在 $a$ 有定义；它在该点连续，意思是 $lim_{x \to a} f (x) = f (a)$ 。这要求附近的函数值有极限，且极限恰等于点上的值，不能只凭曲线“看起来不断”判断。

分段函数的接缝

设 $f (x) = x^{2}$ （ $x < 1$ ），而 $f (x) = a x + b$ （ $x \geq 1$ ）。左侧趋近 1 的值是 1，右侧趋近值和点值都是 $a + b$ 。所以接缝连续的充要条件是 $a + b = 1$ 。例如取 $a = 2, b = - 1$ 时函数连续，但左导数为 2、右导数也为 2；若改取 $a = 0, b = 1$ ，函数仍连续，左右斜率却分别为 2 和 0。这说明连续只管函数值接得上，并不保证斜率接得上。

在 $x = 0$ 处令 $g (x) = x^{2}$ （ $x \neq 0$ ）、 $g (0) = 3$ 。它的极限为 0，却把点值放在 3，属于可去间断；把 $g (0)$ 改成 0 即可修补。若左右极限不同，例如 $h (x) = 0$ （ $x < 0$ ）、 $h (x) = 1$ （ $x \geq 0$ ），无论怎样重新定义单个点值，都不能修补跳跃。

误差定义与区间端点

把极限中的“接近”展开：对每个 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ ，使定义域中满足 $| x - a | < δ$ 的点都有 $| f (x) - f (a) | < ε$ 。这里允许 $x = a$ ；点本身的误差自然为零。对于只在 $[a, b]$ 定义的函数，左端点只从右边接近，右端点只从左边接近。说函数在闭区间连续，须同时包括内部各点的双侧连续和两个端点的单侧连续。

连续函数的和与积连续；商还要求分母在该点不为零。复合函数 $f (g (x))$ 的连续性要沿着 $g$ 送出的值检查，不能把内层趋近位置误写成外层自变量。闭区间连续还带来两个全局结论：函数有最大、最小值；介于端点函数值之间的每个值都能取到。后一个结论在介值定理中单独证明，导数与连续性的关系见可导与连续。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§2.4：点、区间与端点处的连续性。
同书 §2.3：极限的运算法则。