可导与连续

可导与连续说的是两个局部条件之间的方向关系。若 $f$ 在内部点 $a$ 有有限导数 $f^{'} (a)$ ，那么它一定在 $a$ 连续；反过来，连续函数可以有尖点或其他不可导点。

差商怎样保证函数值接上

由导数定义，非零 $h$ 满足 $f (a + h) - f (a) = h \frac{f (a + h) - f (a)}{h} .$ 当 $h \to 0$ ，右边第一个因子趋于零，第二个因子趋于有限的 $f^{'} (a)$ ，故函数增量趋零。这一步要求导数是有限实数；“斜率趋于无穷”不是有限导数，也不能直接代入上述论证。

在 $a = 0$ 取 $f (x) = | x |$ 。函数值从左右都趋于 0，因此连续；右差商恒为 1，左差商恒为 −1，双侧导数不存在。图上的尖角对应两侧斜率无法合并成一个数。相比之下， $g (x) = x^{1 / 3}$ 在 0 连续，但差商 $h^{- 2 / 3}$ 趋于正无穷；这也是不可导，不过并非左右斜率异号。

先查连续性，再谈求导

若函数在一点有跳跃，可立即断定它在那里不可导。例如阶跃函数 $H (x) = 0$ （ $x < 0$ ）、 $H (x) = 1$ （ $x \geq 0$ ）在 0 不连续，自然没有导数。对分段函数，先使左右函数值和点值相合，再比较左右导数；只让两侧导数的代数式相等，而点值没有接上，并不能得到可导性。

具体地， $f (x) = x^{2}$ （ $x < 1$ ）、 $f (x) = 2 x - 1$ （ $x \geq 1$ ）在 1 的左右值都为 1，左右导数都为 2，故可导。把右段改成 $2 x$ ，形式上的两侧斜率仍为 2，但函数在 1 跳到 2，实际从左边算出的差商含有一个除以 $h$ 的固定落差，发散而非趋于 2。

多元情形更严格：各坐标方向的偏导数都存在，仍未必得到所有方向统一的线性近似。此处的一元结论是理解方向导数与梯度的起点。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§3.1：导数定义。
同书 §2.4：连续性与间断。