泰勒定理

泰勒定理用一个点附近已知的导数，把函数写成多项式与可控制的余项。设 $f$ 在包含 $a,x$ 的区间上有适当阶数的导数；在常见的 $n+1$ 阶连续可导条件下，存在介于 $a$ 与 $x$ 的 $\xi$，使 $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}.$$ 前半是 $n$ 次泰勒多项式，最后一项是拉格朗日型余项。写出多项式不等于已经证明它在所选区间内足够准确，精度取决于余项。

让多项式贴住函数

对 $f(x)=e^x$ 在 $a=0$ 展开到二次：$P_2(x)=1+x+x^2/2$。因为每一阶导数在零点都等于 1，三个系数分别来自函数值、斜率和弯曲。取 $x=0.2$，近似值为 1.22；实际 $e^{0.2}\approx 1.22140276$。在 $0\le x\le 0.2$ 上三阶导数 $e^x\le e^{0.2}<1.23$，所以 $$|e^{0.2}-P_2(0.2)|\le \frac{1.23}{6}(0.2{)}^3=\mathrm{0.00164.}$$ 实际误差约 0.001403，落在界内。这里的 0.00164 是上界，不是误差的精确值。

图中的红色差距是某个位置的实际余项；正文在零点二处给出单独的可证明误差上界。

余项从何而来

先看一次情形。拉格朗日中值定理给出 $f(x)=f(a)+f^{\prime }(\xi )(x-a)$。若希望把导数固定在 $a$，两者的差需进一步控制，二阶导数界便给出二次量级的误差。一般情形可构造一个在 $a$ 处消去前 $n$ 阶导数、且在 $x$ 处为零的辅助函数，重复使用罗尔定理，最后把剩下的常数写成上式的 $f^{(n+1)}(\xi )$。证明的结构是逐阶消去，而不是凭函数图像看出多项式贴合。

泰勒定理是有限阶公式；泰勒级数还要让阶数趋于无穷并证明余项趋零。函数可以无穷次可导却不等于自身在某点的泰勒级数：$e^{-1/x^2}$（$x\ne 0$，在 0 定为 0）的各阶零点导数均为 0，级数恒为 0，但函数在其他点为正。两者不能混用。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 2》§6.3：泰勒多项式、余项与级数。
• 同书卷一 §4.4：中值定理与局部误差控制。