拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理（mean value theorem）把整段的平均变化率同某处的瞬时变化率联系起来。若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，$a<b$，则存在 $c\in (a,b)$ 使 $$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$ 结论只保证至少一处斜率相等；并不声称中点一定适用。

先去掉端点连线

过曲线端点的直线为 $\ell (x)=f(a)+[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)$。令 $g=f-\ell$，便有 $g(a)=g(b)=0$。连续、可导条件随减去直线保留，由罗尔定理有某个 $c$ 使 $g^{\prime }(c)=0$；而 $g^{\prime }=f^{\prime }-[f(b)-f(a)]/(b-a)$，整理即得所需斜率等式。证明中的辅助直线不是装饰：它把任意端点高度差转成“等高端点”。

对 $f(x)=x^2$、$[1,3]$，端点割线斜率为 $(9-1)/(3-1)=4$；$f^{\prime }(c)=2c$，所以 $c=2$。若令 $f(x)=x^3$ 在 $[-1,1]$，割线斜率为 1，而 $3c^2=1$ 有两个内部解 $c=\pm 1/\sqrt{3}$。定理并不保证唯一。

图中割线的两端是固定数据；切点要由导数等于平均斜率求出。

从斜率等式到误差界

若某区间上处处有 $|f^{\prime }(x)|\le M$，任取区间内 $x,y$，对两点间应用中值定理得到 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y|$。例如 $|(\sin x{)}^{\prime }|=|\cos x|\le 1$，于是 $|\sin x-\sin y|\le |x-y|$。这比“函数变化不快”的口头印象多了精确上界。若导数在整个区间为零，同一公式还推出函数为常数；微积分基本定理用此事实比较两个原函数。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.4：定理、证明与推论。
• 同书 §4.5：用导数判断函数变化。