微积分基本定理

微积分基本定理连接导数和定积分，但包含两条方向不同的结论：连续函数的累计量求导可恢复当前函数值；已知原函数时，累计量可由端点差求出。把这两条分开，能看见公式在何处需要连续性。

累计函数的局部变化

设 $f$ 在 $[a, b]$ 连续，定义 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ 。对内部点 $x$ ，区间可加性给出 $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .$ 从两边减去 $f (x)$ 后，差的绝对值至多是 $x$ 与 $x + h$ 之间 $| f (t) - f (x) |$ 的最大值；连续性使这个最大值趋零。于是 $A^{'} (x) = f (x)$ 。当 $h < 0$ 时有向积分与分母同时反向，估计仍成立。

左边速度二t下的面积累积成右边t平方曲线，后者在每个位置的斜率又是二t — 图以函数二t为例：左侧区间增加一小段面积，右侧累计函数随之增加；小段面积除以宽度趋于当前高度。

从局部恢复到端点差

若 $F^{'} = f$ ，那么 $(F - A)^{'} = 0$ 。由拉格朗日中值定理， $F - A$ 在区间上为常数，故 $\int_{a}^{b} f (t) d t = F (b) - F (a) .$ 以 $f (t) = 2 t + 1$ 为例， $F (t) = t^{2} + t$ ；在 $[1, 3]$ 上积分等于 $(9 + 3) - (1 + 1) = 10$ 。同一结果也能由平均值求和核对：函数在两端为 3、7，线性函数的平均高度为 5，区间宽度为 2，面积为 10。

若积分上限是 $g (x)$ 而非常量 $x$ ，还需链式法则： $\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$ 。例如 $G (x) = \int_{0}^{x^{2}} \cos t d t$ 的导数是 $2 x \cos (x^{2})$ ，不是 $\cos (x^{2})$ 。

连续性是逐点恢复的方便充分条件，不是积分存在的必要条件。把 $f (0)$ 单独改为 100、其他点仍为 0，所有区间积分仍为 0，累计函数恒为 0，因而在零点的导数不等于 $f (0)$ 。积分不记得孤立点的高度。反常积分还需先检查截断极限，不能跨过奇点直接套端点公式。

参考资料

OpenStax《Calculus Volume 1》§5.3：基本定理两部分。
同书 §5.2：定积分定义与区间可加性。