矩阵的秩

矩阵的秩（rank）是矩阵列向量能够提供的独立方向数；它也等于行向量的独立方向数。秩不是“非零数字的个数”，而是在询问哪些信息可以由其他列或行线性组合出来。

想象三种原料分别对应系数矩阵的三列。若第三列恰能由前两列拼出，给第三种原料任意增加一份，同时调整前两种原料，最终产物可能完全不变。方程 $Ax=b$ 中的自由变量和不可辨认的输入，正来自这样的依赖关系。

行阶梯形中的主元

考虑 $$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$ 第二行是第一行的两倍。用消元，先做 $R_2\leftarrow R_2-2R_1$、$R_3\leftarrow R_3-R_1$，再交换后两行，可得 $$B\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -2\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ 阶梯形中有两个非零行、两个主元，因此 $\mathrm{rank}(B)=2$。这里的 $\sim$ 表示经可逆初等行变换得到，不表示两个矩阵逐项相等。

也可直接从列看：记三列为 $c_1,c_2,c_3$，计算得 $c_3=2c_2-c_1$。前两列不成比例，故确有两个独立方向；第三列没有增加新的方向。这与消元所得秩相符。

被抹去的输入方向

令 $Bx=0$，其中 $x=(x_1,x_2,x_3{)}^{𝖳}$。阶梯形给出 $$x_1+2x_2+3x_3=0,-x_2-2x_3=0.$$ 取自由变量 $x_3=t$，就有 $x_2=-2t$、$x_1=t$，因此 $$\ker B=\{t(1,-2,1{)}^{𝖳}:t\in ℝ\}.$$ 直接把 $(1,-2,1)$ 代回原矩阵，三行结果都是零。输入有三个坐标，两个独立方向能在输出中辨认，剩下一个方向被映成零。这里具体体现了线性代数中的秩—零度定理： $$\text{输入维数}=\mathrm{rank}(B)+\dim \ker B=2+1=3.$$

方程有无解由谁决定

现在考虑 $Bx=b$。因为原矩阵第二行是第一行两倍，右端也必须满足 $b_2=2b_1$。例如 $b=(3,6,2{)}^{𝖳}$ 满足这一必要条件；消元后它确有解。若把中间的 6 改成 7，左端第二行仍永远是第一行两倍，右端却不是，方程必无解。

一般地，在增广矩阵 $[A\mid b]$ 中做行变换：

• 若 $\mathrm{rank}(A)<\mathrm{rank}([A\mid b])$，最后出现 $0=c$（$c\ne 0$），无解。
• 若两秩相等，至少有一个解；若这共同的秩还等于未知数个数，则没有自由变量，解唯一；否则有无穷多解（在实数域上）。

这不是一套另起的规则。增广列 $b$ 若增加了一个独立方向，表示目标不在原列空间，因而拼不出；若没有增加，则目标可以由原列组合出来。

行秩与列秩为何相同

可逆行运算相当于对所有列同时施加一个可逆变换，因此不会改变列之间的线性关系。把矩阵化为行最简形后，主元列的数量既是独立列的数量，也是非零行的数量。于是行空间和列空间虽然处在不同坐标空间、具体向量不一样，维数却相等，统称矩阵的秩。

在精确算术中，主元是否为零是明确的。实测数据用小数表示时，一个非常小但非零的主元可能来自舍入或噪声；此时“数值秩”要说明容差和单位缩放，不能只靠肉眼数非零项。最小二乘法中的拟合参数是否可辨认，就与设计矩阵的秩有关。

参考资料

• MIT OpenCourseWare，18.06SC，The Four Fundamental Subspaces：列空间、零空间与秩。
• MIT OpenCourseWare，18.06 课程大纲：秩、主元与方程组解集。
• 继续阅读：线性方程组与高斯消元、向量空间、最小二乘法。