不可数集

不可数集不能排成有限序列或 $a_1,a_2,\dots$ 而列尽所有元素。实数区间 $(0,1)$ 就是不可数的：无论给出怎样一列区间内的实数，总能构造出一个遗漏的数。这里的结论比“实数很多”精确；它说不存在把正整数与该区间元素一一配对的办法。

一条永远漏数的名单

假设已有一列 $x_1,x_2,\dots$ 声称列出了 $(0,1)$ 中所有实数。把每个数写成十进制展开，对有两种展开的数统一选择不以无限个 9 结尾的表示。构造新数 $y=0.d_1{d}_2{d}_3\dots$：若 $x_n$ 的第 $n$ 位小数为 1，就令 $d_n=2$；否则令 $d_n=1$。

每个 $d_n$ 都是 1 或 2，因此 $0<y<1$，也不存在末尾无限个 9 的表示歧义。$y$ 与 $x_n$ 在第 $n$ 位不同，所以 $y\ne x_n$ 对每个 $n$ 都成立。名单便漏掉了 $y$，与“已列尽”矛盾。这是对角线论证的一种具体实现。

集合大小的另一层次

有理数虽在每段区间都稠密，仍能按整数对编号；不可数并不是“数轴上挨得更密”的同义词。不可数讨论所有元素能否被编号。幂集还给出一般结论：任意集合 $A$ 的全部子集都不能与 $A$ 本身双射，因此不存在一个“最大的基数”。这两个结论用的是同一类对角构造。

参考资料

• MIT，Mathematics for Computer Science，Cardinality 章节。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：可数集、对角线论证、幂集。