基与维数

向量空间的一组基（basis）既能生成整个空间，又线性无关。前一条件保证每个向量至少有一种坐标表示，后一条件保证表示至多有一种；合起来恰好一种。有限维空间任意两组基都含相同个数的向量，这个个数叫空间的维数。

同一平面的两套坐标

$ℝ^{2}$ 的标准基为 $e_{1} = (1, 0), e_{2} = (0, 1)$ ；另一组 $u = (1, 1), v = (1, - 1)$ 也是基。对任意 $(x, y)$ ，有 $(x, y) = \frac{x + y}{2} u + \frac{x - y}{2} v .$ 两系数由 $x, y$ 唯一确定，所以这一组既生成整个平面又无关。例如 $(3, 1) = 2 u + v$ ；这与标准坐标 $(3, 1)$ 是同一个向量的两种描述，不是两个向量。

基为何不能多放一个方向

若已有 $n$ 个向量组成 $n$ 维空间的基，再加入一个向量，新向量一定可由旧基表示，整组立即线性相关。若从基中删去一个，余下向量又无法生成被删去的那个。这个“无多余、无缺少”的性质解释基的个数稳定，并使秩零化度定理能够把输入空间的维数分配给被压成零的方向和保留下来的输出方向。

任意两组基的长度相同，可用替换论证说明。设 $v_{1}, \dots, v_{m}$ 张成空间，而 $w_{1}, \dots, w_{k}$ 线性无关。将 $w_{1}$ 写成 $v_{i}$ 的组合，至少有一个系数非零；用 $w_{1}$ 替换相应的 $v_{i}$ 后，整组仍能张成。再处理 $w_{2}$ 时，由于它不在 $w_{1}$ 的张成空间中，组合里必有一个尚未被换掉的 $v_{i}$ 系数非零，可以再次替换。逐个进行，至多能替换 $m$ 次，所以 $k \leq m$ 。两组若都是基，互换角色便又有 $m \leq k$ ，故 $m = k$ 。

零向量不可能属于任何基，因为给它系数 1、其余系数 0 就构成非平凡的零组合。一个空间若只含零向量，按约定空向量组是它的基，维数为 0；“没有基向量”与“没有向量”并非同一句话，零向量仍在该空间中。

参考资料

MIT 18.06 Linear Algebra，Lecture 9: Independence, Basis, and Dimension。
MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
继续阅读：生成空间、线性相关与线性无关、线性映射。