实对称矩阵谱定理

实对称矩阵谱定理说：若实矩阵 $A$ 满足 $A^{𝖳}=A$，就存在正交矩阵 $Q$ 与实对角矩阵 $\Lambda$，使 $$A=Q\Lambda Q^{𝖳}.$$ $Q$ 的列是两两正交的单位特征向量，$\Lambda$ 对角线上是相应实特征值。条件是实且对称；任意方阵不能保证有一组这样的正交特征向量。

一张二阶矩阵

取 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$。沿 $(1,1)$ 方向，$A(1,1)=(3,3)=3(1,1)$；沿 $(1,-1)$ 方向，$A(1,-1)=(1,-1)$。两个方向彼此正交，规范化得 $$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ 直接乘回可得 $Q\Lambda Q^{𝖳}=A$。几何上，$A$ 在这两条垂直方向上分别伸长 3 倍和 1 倍。

正交性来自对称条件

若 $Au=\lambda u$、$Av=\mu v$ 且 $\lambda \ne \mu$，则对称性给出 $(Au)\cdot v=u\cdot (Av)$，所以 $\lambda (u\cdot v)=\mu (u\cdot v)$，只可能 $u\cdot v=0$。这解释不同特征值的特征向量为何正交；对相同特征值，可在同一特征子空间内另选一组正交规范基。

存在性的证明

单位球面 $S=\{x\in {ℝ}^n:\Vert x\Vert =1\}$ 是紧集，连续函数 $R(x)=x^{𝖳}Ax$ 因而在上面取到最大值。设最大点为 $u$。对任意与 $u$ 正交的 $y$，把 $u+ty$ 单位化后代入 $R$；$t=0$ 是极值点，导数为 $2y^{𝖳}Au=0$。于是 $Au$ 与所有 $u$ 的正交向量都垂直，只能平行于 $u$，即 $Au=\lambda u$，其中 $\lambda =u^{𝖳}Au\in ℝ$。

再看 $u^{\perp }$：若 $v\perp u$，则 $u^{𝖳}Av=(Au{)}^{𝖳}v=\lambda u^{𝖳}v=0$。因此 $A$ 把 $u^{\perp }$ 映回自身，在这个低一维的空间上仍是实对称变换。重复上述步骤，归纳得到一组正交单位特征向量。将它们作为 $Q$ 的列，便有 $AQ=Q\Lambda$；又因 $Q^{𝖳}Q=I$，乘上 $Q^{𝖳}$ 即得定理。这里用到的紧性解释了第一个特征向量为何一定存在，而非仅证明已有特征向量的正交性。

参考资料

• MIT 18.06 Linear Algebra，Symmetric Matrices 与 Eigenvectors 讲义。
• MIT RES.18-011《Algebra I》：线性空间与谱定理。
• 继续阅读：特征值与特征向量、正交补、矩阵。