区间套定理

区间套定理讨论一串逐个套住的闭区间 $I_{n} = [a_{n}, b_{n}], I_{n + 1} \subseteq I_{n} .$ 它断言这些区间至少有一个公共点。若长度 $b_{n} - a_{n} \to 0$ ，公共点恰好只有一个。把一个区间每次对半分并保留其中一半，就是直观例子；无论怎样选择，嵌套的闭半区间不会把所有点都丢掉。

存在性的证明

嵌套性使左端点 $a_{n}$ 不减、右端点 $b_{n}$ 不增。所有 $a_{n}$ 均不超过 $b_{1}$ ，故可取 $x = sup {a_{n} : n \geq 1}$ 。定义上 $a_{n} \leq x$ 。固定任意 $n$ ：对所有 $k$ ，都有 $a_{k} \leq b_{n}$ ——当 $k \geq n$ 用套叠性，当 $k < n$ 用 $a_{k} \leq a_{n} \leq b_{n}$ 。所以 $b_{n}$ 是全体左端点的上界， $x \leq b_{n}$ 。于是 $x \in I_{n}$ 对每个 $n$ 成立。

若另有公共点 $y$ ，则 $| x - y | \leq b_{n} - a_{n}$ 对每个 $n$ 成立；区间长度趋零迫使 $x = y$ 。注意唯一性需要长度趋零，只有嵌套并不够：所有 $I_{n} = [0, 1]$ 时，公共点有无穷多个。

闭区间条件

改用 $I_{n} = (0, 1 / n)$ ，虽然区间仍逐个缩小，交集却为空：任何正数最终会大于 $1 / n$ ，而 0 从未属于区间。这个反例显示不能把“闭”悄悄删掉。

参考资料