数列的上极限与下极限

数列 $(x_n)$ 即使不收敛，也可能有稳定的“最终上边界”和“最终下边界”。上极限与下极限分别记作 $lim\; sup{x}_n$、$lim\; inf{x}_n$。例如 $x_n=(-1{)}^n+1/n$ 在 1 与 −1 附近交替，普通极限不存在，但上极限是 1，下极限是 −1。

从尾部范围定义

对每个 $n$，令 $u_n=\underset{k\ge n}{sup}{x}_k$、$l_n=\underset{k\ge n}{inf}{x}_k$。尾部删掉项后，$u_n$ 不增，$l_n$ 不减，因此在扩充实数中总可定义 $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; sup}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{u}_n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim\; inf}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{l}_n.$$ 这里允许结果为 $+\mathrm{\infty }$ 或 $-\mathrm{\infty }$；若数列有界，二者均为有限实数。对于 $((-1{)}^n+1/n)$，每个尾部仍含越来越接近 1 与 −1 的项，故两端界限如上。

与收敛的关系

有界实数列收敛到 $L$，当且仅当 $lim\; sup{x}_n=lim\; inf{x}_n=L$。充分性可从 $l_n\le x_n\le u_n$ 与夹逼得到；必要性是因为尾部所有项最终落在 $(L-\epsilon ,L+\epsilon )$。如果数列 $x_n=n$，两者都为 $+\mathrm{\infty }$，这叫趋向无穷，不能称为收敛到一个实数。

对有界数列，上极限也是子列极限中的最大值，下极限是最小值。它们概括了振荡，而不是简单取“全序列最大项”：最大项可能只在开头出现一次，尾部定义会将它排除。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，数列与子列讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：数列的极限、博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理。