博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理

博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理（Bolzano–Weierstrass theorem）断言：每个有界的实数列都有一个收敛子列。“有界”并不保证整个数列收敛；它保证我们能够从中按原来的先后次序，挑出无限多个越来越接近某个实数的项。

数列 $x_{n} = (- 1)^{n}$ 始终落在 $[- 1, 1]$ ，却在 $- 1$ 和 1 之间来回跳动，不存在整个数列的极限。只取偶数指标得到 $x_{2 k} = 1$ ，只取奇数指标得到 $x_{2 k - 1} = - 1$ ；这两条子列各自收敛。定理处理的正是这种“整体未必稳定，但至少存在一条稳定轨迹”的情况。

定理中的两个条件

实数列 $(x_{n})$ 有界，指存在实数 $A \leq B$ ，使每一项都满足 $A \leq x_{n} \leq B$ 。子列写作 $(x_{n_{k}})$ ，其指标必须严格递增： $n_{1} < n_{2} < \dots$ 。只在有限个位置来回选值，不能伪装成无限子列。

定理的精确结论是：存在严格递增的指标 $n_{k}$ 和实数 $L$ ，使 $x_{n_{k}} \to L$ 。 $L$ 不要求是原数列某一项。它可能在区间端点，例如 $x_{n} = 1 - 1 / n$ 的极限是 1，而没有任何一项等于 1。

二分区间构造收敛子列

把全部项放入一个闭区间 $I_{0} = [A, B]$ 。将它平分成左右两个闭半区间；至少有一个包含无限多项，否则两边各只有有限多项，合起来也只能有有限多项。选这样的半区间为 $I_{1}$ 。对 $I_{1}$ 重复，同样选出含无限多项的半区间 $I_{2}$ ，如此继续。得到 $I_{0} \supseteq I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \dots, | I_{k} | = \frac{B - A}{2^{k}},$ 其中 $| I_{k} |$ 表示区间长度。闭端点可同时属于相邻半区间；若两个半区间都含无限多项，任选一个即可。

四层逐次减半的闭区间，其中一条嵌套分支每层仍含无限多项，所选子列的指标逐次增加 — 每次只保留仍含无限多项的一半；区间变窄后，再从其中选一个比上次更靠后的项。

记 $I_{k} = [a_{k}, b_{k}]$ 。左端点 $a_{k}$ 递增且有上界，由上确界原理可知它收敛到某个 $L$ 。因为区间嵌套， $a_{k} \leq L \leq b_{k}$ ；又因为 $b_{k} - a_{k} = (B - A) / 2^{k} \to 0$ ，两个端点都趋于 $L$ 。

在 $I_{1}$ 中选一项 $x_{n_{1}}$ 。 $I_{2}$ 仍含无限多项，所以可选指标 $n_{2} > n_{1}$ 的一项；依此在 $I_{k}$ 中选 $n_{k} > n_{k - 1}$ 。由嵌套区间的两端夹住它， $a_{k} \leq x_{n_{k}} \leq b_{k}, 0 \leq b_{k} - a_{k} ⟶ 0.$ 故 $x_{n_{k}} \to L$ 。证明同时交代了子列从哪里来、为什么指标会不断向后，以及它为何真的收敛；不能把图中“向一点挤压”的印象直接当作结论。

条件的边界

去掉有界条件， $x_{n} = n$ 的任意子列都趋向无穷，不会收敛到有限实数。另一方面，定理没有说所有子列都收敛，也没有说它们有同一个极限： $((- 1)^{n})$ 已给出两个不同的子列极限。

在 $ℝ^{d}$ 中结论仍成立：有界向量序列可依次为第一、第二……第 $d$ 个坐标挑选收敛子列，每次保留先前坐标的收敛性，有限次以后得到整体收敛的子列。这个论证依赖维数有限；一般无限维空间中，“有界”不足以推出范数收敛子列。

定理是柯西收敛准则充分性证明中的关键一步：先得到一条收敛子列，再利用“后面的项两两靠近”把子列极限推广到整个数列。闭区间连续函数的最值定理则用它把接近最优值的一串输入变成真正达到最优值的输入。

参考资料

ProofWiki，Bolzano-Weierstrass Theorem：结论及不同证明路线。
MIT OpenCourseWare，18.100B，Lecture 07：有界序列、子列与柯西条件。
继续阅读：数列的极限、上确界原理、柯西收敛准则。