紧致性

紧致性把“局部可以覆盖”变成“有限处就够”。在实数轴上，集合 $K$ 紧致，指它的任意开覆盖都有有限子覆盖：若开集族 $\{U_{\alpha }\}$ 的并包含 $K$，便能从中取有限个，仍覆盖 $K$。闭区间 $[0,1]$ 紧致；开区间 $(0,1)$ 不紧致。

一个开区间的反例

令 $U_n=(1/n,1)$，$n\ge 2$。这些开集的并覆盖 $(0,1)$：每个 $x>0$ 都能找到 $n>1/x$。但任取有限个，设最大下标为 $N$，其并仅为 $(1/N,1)$，漏掉更靠近 0 的点。因此 $(0,1)$ 不紧致。这个反例显示失败发生在“趋向缺失的端点”。

紧致如何保证最大值

若 $f:K\to ℝ$ 连续，$K$ 紧致，则 $f(K)$ 也紧致，因而有界并包含其上下界；于是 $f$ 在 $K$ 上取到最大和最小值。以 $f(x)=x$ 为例，在 $[0,1]$ 上最大值为 1；若定义域改成 $(0,1)$，上确界仍为 1，却没有点实际取得它。

在 ${ℝ}^n$ 中，海涅-博雷尔定理把这个覆盖定义等价地改写为“闭且有界”。到了无限维空间，闭且有界一般不再足够，因此不能把欧氏空间中的直观当成所有空间的定义。

参考资料

• MIT 18.S190，Compactness 讲义。
• MIT 18.100B，实分析与紧致性讲义。
• 继续阅读：开集与闭集、海涅-博雷尔定理、闭区间连续函数的最值定理。