开集与闭集

在实数轴上，集合 $U$ 是开集，指其中每个点 $x$ 都有一个足够小的开区间 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ 完全留在 $U$ 内。集合 $F$ 是闭集，指其补集 $ℝ\setminus F$ 是开集。$(0,1)$ 开而非闭，$[0,1]$ 闭而非开；$ℝ$ 与空集则同时开且闭。

用端点检验

在 $(0,1)$ 中取 $x=0.2$，可选 $\epsilon <0.2$，整个小区间仍在集合里。0 不属于这个集合，不需要为 0 找邻域。相反，在 $[0,1]$ 中取端点 0，任何以 0 为中心的小开区间都伸出集合，所以 $[0,1]$ 不是开集。

闭集还可用数列判断：实数集 $F$ 闭，当且仅当 $F$ 中每个收敛数列的极限仍在 $F$。例如 $x_n=1/n$ 全在 $(0,1]$ 内，但极限 0 不在其中，故 $(0,1]$ 不闭。这个判据依赖实数的度量结构；在一般拓扑空间中，开集定义更基本。

运算规律

任意多个开集的并仍开，有限多个开集的交仍开。取 $U_n=(-1/n,1/n)$，每个都开，但无限交只剩 $\{0\}$，它不开放。这说明“有限交”中的有限二字不可删除。由补集关系，对闭集得到对偶规律：任意交仍闭，有限并仍闭。

参考资料

• MIT 18.S190，Metric Spaces 讲义。
• MIT 18.100B，实分析与紧致性讲义。
• 继续阅读：聚点、紧致性、拓扑空间。