海涅-博雷尔定理

海涅—博雷尔定理说，在有限维欧氏空间 ${ℝ}^n$ 中，集合紧致当且仅当它闭且有界。它给紧致性的开覆盖定义一个便于检查的判据。例如闭圆盘 $\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}$ 闭且有界，因此紧致；去掉圆周后的开圆盘则不紧致。

一维情形的关键证明

先看 $[a,b]$。设某个开覆盖没有有限子覆盖。把区间二等分，至少有一半仍不能被有限覆盖；否则两半各有有限子覆盖，合起来便覆盖原区间。持续选择失败的一半，得到长度为 $(b-a)/2^k$ 的闭区间套，其唯一公共点记为 $x$。覆盖中有开集 $U$ 包含 $x$，故某个半径 $\epsilon$ 的小区间位于 $U$。套中足够短且含 $x$ 的一段必完全落在该小区间，单凭 $U$ 就能覆盖它，矛盾。故闭区间紧致。

闭且有界的实数集 $F$ 躺在某个闭区间内，又是其闭子集，故紧致。高维情形可先以坐标盒代替闭区间，再逐坐标处理。反方向：若 $K$ 无界，开球 $B(0,m)$ 构成没有有限子覆盖的覆盖；若 $K$ 不闭，取其外部的聚点 $x$，集合 $\{y:|y-x|>1/m\}$ 覆盖 $K$ 却无有限子覆盖。两种情形都与紧致矛盾。

“闭且有界”需要同时满足。例如 $[0,\mathrm{\infty })$ 闭而无界；$(0,1)$ 有界而不闭，二者都不紧致。定理也限定在有限维欧氏空间中，不能无条件外推。

参考资料

• MIT 18.S190，Compactness 讲义。
• MIT 18.100B，实分析与紧致性讲义。
• 继续阅读：紧致性、区间套定理、开集与闭集。