根值判别法

根值判别法考察级数项的 $n$ 次方根。若 $L = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |}$ ，则 $L < 1$ 时 $\sum a_{n}$ 绝对收敛， $L > 1$ 时级数发散； $L = 1$ 时不作判断。用上极限而非普通极限，可以处理根值振荡的情形。

证明与算例

若 $L < 1$ ，选 $L < q < 1$ 。充分靠后有 $\sqrt[n]{| a_{n} |} < q$ ，即 $| a_{n} | < q^{n}$ ，由等比级数比较得到绝对收敛。若 $L > 1$ ，会有无穷多个 $n$ 满足 $\sqrt[n]{| a_{n} |} > 1 + δ$ （取适当 $δ > 0$ ），这些项的绝对值不趋零，故原级数发散。

例： $a_{n} = (2 n / (3 n + 1))^{n}$ ，则 $\sqrt[n]{a_{n}} = 2 n / (3 n + 1) \to 2 / 3$ ，所以级数收敛。相比之下，对 $1 / n$ 与 $1 / n^{2}$ 取 $n$ 次根都趋于 1；一个发散、一个收敛，说明边界值确实不够。

对幂级数 $\sum c_{n} x^{n}$ ，根值直接变成 $| x | lim sup \sqrt[n]{| c_{n} |}$ ，从而给出收敛半径；在边界 $| x | = R$ 仍须逐点另判。

参考资料