柯西乘积

两个级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ 、 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ 的柯西乘积是按总下标收集乘积项形成的级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}, c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} .$ 这与多项式乘法相似： $c_{2} = a_{0} b_{2} + a_{1} b_{1} + a_{2} b_{0}$ 。若两个原级数都绝对收敛，其柯西乘积收敛，和等于两个原和之积。

从有限方格到无限三角形

令 $A = \sum a_{n}$ 、 $B = \sum b_{n}$ 。有限乘积 $(\sum_{k = 0}^{N} a_{k}) (\sum_{j = 0}^{N} b_{j})$ 对应方格 $0 \leq k, j \leq N$ 中的 $a_{k} b_{j}$ ；柯西乘积前 $N$ 项对应三角形 $k + j \leq N$ 。绝对收敛使双重绝对值总和 $\sum_{k, j \geq 0} | a_{k} b_{j} | = (\sum | a_{k} |) (\sum | b_{j} |) < \infty,$ 因而两种逐渐铺满整个非负整数格点的求和顺序都趋向 $A B$ 。

例如 $a_{n} = b_{n} = 2^{- n}$ 时 $c_{n} = (n + 1) 2^{- n}$ ，所以 $\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) 2^{- n} = 2 \cdot 2 = 4$ 。左边也可从等比级数求导核验。

收敛条件

若仅知两个原级数条件收敛，不能直接照搬上述绝对值估计。有更宽的定理：一个级数绝对收敛、另一个收敛时，柯西乘积仍收敛到乘积；但“两个只要各自收敛就足够”是错误的。用 $a_{n} = b_{n} = (- 1)^{n} / \sqrt{n + 1}$ ，两原级数交错收敛，而 $c_{n} = (- 1)^{n} \sum_{k = 0}^{n} 1 / \sqrt{(k + 1) (n - k + 1)}$ 。由于 $\sqrt{(k + 1) (n - k + 1)} \leq (n + 2) / 2$ ，有 $| c_{n} | \geq 2 (n + 1) / (n + 2)$ ，通项甚至不会趋于零，乘积级数发散。

参考资料